Группа ветвления

В теории чисел , более конкретно , в локальной теории полей классов , то ветвления группы являются фильтрация из группы Галуа в виде локального поля расширения, что дает подробную информацию о ветвлений явлениях расширения.

Теория ветвления оценок

В математике , то теория ветвления оценок изучает множество расширений одного нормирования V в виде поля K на расширение L из K . Это обобщение теории ветвления дедекиндовских доменов. ^{[1] [2]}

Структура множества расширений известна лучше, когда L / K - Галуа .

Группа разложения и группа инерции

Пусть ( K ,  v ) является нормированным полем , и пусть L быть конечное расширение Галуа из K . Пусть S _v множество эквивалентности классов расширений V на L , и пусть G является группой Галуа из L над K . Тогда G действует на S _{v следующим} образом: σ [ w ] = [ w  ∘ σ] (т. Е. W является представителем класса эквивалентности [ж ] ∈  S _v и [ ш ] посылается к классу эквивалентности композиции из ш с автоморфизма a: L → L ; это не зависит от выбора w в [ w ]). На самом деле это действие транзитивное .

При фиксированном расширение ш из V на L , то группа разложения ш представляет собой стационарную подгруппу G _ш из [ ш ], т.е. она является подгруппой из G , состоящая из всех элементов, фиксирующих класс эквивалентности [ ш ] ∈  S _V .

Пусть т _ш обозначим максимальный идеал в ш внутри кольца нормирования R _ш в ш . Группа инерции w - это подгруппа I _w группы G _w, состоящая из таких элементов σ , что σ x  ≡  x  (mod  m _w ) для всех x в R _w . Другими словами, I _w состоит из элементов группы разложения, которые тривиально действуют на поле вычетовиз w . Это нормальная подгруппа группы G _w .

Приведенный индекс ветвления e ( w / v ) не зависит от w и обозначается e ( v ). Точно так же относительная степень f ( w / v ) также не зависит от w и обозначается f ( v ).

Группы ветвления в нижней нумерации

Ветвление группа уточнение группы Галуа конечного расширения Галуа из локальных полей . Мы будем писать для оценки, кольцо целых чисел и его максимальный идеал для . Как следствие леммы Гензеля , можно написать для некоторого где - кольцо целых чисел . ^[3] (Это сильнее, чем теорема о примитивном элементе .) Затем для каждого целого числа мы определяем множество всего, что удовлетворяет следующим эквивалентным условиям.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle w, {\ mathcal {O}} _ {L}, {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L} = {\ mathcal {O}} _ {K} [\ alpha]}$${\ displaystyle \ alpha \ in L}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle K}$${\displaystyle i\geq -1}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle s\in G}$

• (i) тривиально действует на${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii) для всех${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii) ${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

Группа называется -й группой ветвления . Они образуют убывающую фильтрацию ,${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

Фактически, они нормальны по (i) и тривиальны при достаточно больших по (iii). Для самых низких показателей, это принято называть в подгруппу инерции из - за его отношения к расщеплению простых идеалов , в то время как в диком подгруппы инерции в . Частное называется ручным частным.${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$

Группа Галуа и ее подгруппы изучаются с помощью указанной выше фильтрации или, более конкретно, соответствующих факторов. Особенно,${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{i}}$

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$где - (конечные) поля вычетов . ^[4]${\displaystyle l,k}$${\displaystyle L,K}$
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$является неразветвленным .
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$является ручно разветвленным (т. е. индекс ветвления прост с характеристикой вычета).

Изучение групп ветвления сводится к полностью разветвленному случаю, так как есть for .${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$${\displaystyle i\geq 0}$

Один также определяет функцию . (ii) в приведенных выше показах не зависит от выбора и, более того, изучение фильтрации по существу эквивалентно изучению . ^[5] удовлетворяет следующему: для ,${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$${\displaystyle i_{G}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle i_{G}}$${\displaystyle s,t\in G}$

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

Фикс униформизирующая из . Затем вызывает инъекцию где . (Отображение фактически не зависит от выбора униформизатора. ^[6] ) Отсюда следует ^[7]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L}$${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ циклический порядок, простой с ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$является произведением циклических групп порядка .${\displaystyle p}$

В частности, является р -группа и является разрешимым .${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{0}}$

Группы ветвления могут использоваться для вычисления различий расширения и подрасширений: ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

Если нормальная подгруппа , то для , . ^[9]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$

Комбинируя это с приведенным выше, получаем: для подрасширения, соответствующего ,${\displaystyle F/K}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

Если , то . ^[10] В терминологии Лазара это можно понимать как означающее, что алгебра Ли абелева.${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

Пример: циклотомическое расширение

Группы ветвления для циклотомического расширения , где - -й первообразный корень из единицы , могут быть описаны явно: ^[11]${\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle G_{s}=Gal(K_{n}/K_{e}),}$

где е выбрано так, что .${\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}$

Пример: расширение квартики

Пусть K расширение Q _2, порожденное . Сопряженные с x ₁ равны x ₂ = x ₃ = - x ₁ , x ₄ = - x ₂ .${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}}$${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }},}$

Небольшое вычисление показывает, что частное любых двух из них составляет единицу . Следовательно, все они порождают один и тот же идеал; назовите это π . порождает π ² ; (2) = π ⁴ .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теперь x ₁ - x ₃ = 2 x ₁ , что находится в π ⁵ .

и который находится в π ³ .${\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}},}$

Различные методы показывают , что группа Галуа K является , циклическая порядка 4. Кроме того :${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.}$

а также ${\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24).}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,}$ так что разные ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}$

х ₁ удовлетворяет условию х ⁴ - 4 х ² + 2, который имеет дискриминант 2048 = 2 ¹¹ .

Группы ветвления в верхней нумерации

Если - действительное число , пусть обозначает, где i - наименьшее целое число . Другими словами, Определить по ^[12]${\displaystyle u}$${\displaystyle \geq -1}$${\displaystyle G_{u}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \geq u}$${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

где по соглашению равно if и равно for . ^[13] Тогда для . Он является непосредственным, непрерывным и строго возрастающим, и, следовательно, имеет непрерывную обратную функцию, определенную на . Определить . тогда называется v -й группой ветвления в верхней нумерации. Другими словами, . Примечание . Верхняя нумерация определена так, чтобы быть совместимой с переходом к частным: ^[14] если нормально в , то${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$${\displaystyle t=-1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1<t\leq 0}$${\displaystyle \phi (u)=u}$${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle [-1,\infty )}$${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$${\displaystyle G^{v}}$${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$ для всех ${\displaystyle v}$

(тогда как более низкая нумерация совместима с переходом на подгруппы.)

Теорема Эрбрана

Теорема Эрбрана утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют (для где - подрасширение, соответствующее ), и что группы ветвления в верхней нумерации удовлетворяют . ^{[15] [16]} Это позволяет определить группы ветвления в верхней нумерации для бесконечных расширений Галуа (таких как абсолютная группа Галуа локального поля) из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений.${\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}$${\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}$${\displaystyle L/F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}$

Верхняя нумерация абелевого расширения важна из-за теоремы Хассе – Арфа . В нем говорится, что если абелева, то скачки фильтрации целые; т.е. всякий раз , когда не является целым числом. ^[17]${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{v}}$${\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}$${\displaystyle \phi (i)}$

Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы нормальных вычетов единичными группами при изоморфизме Артина . Образ при изоморфизме${\displaystyle G^{n}(L/K)}$

${\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}$

просто ^[18]

${\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .}$

Смотрите также

• Теория ветвления оценок

Примечания

использованная литература

• Б. Конрад, Math 248A. Высшие группы ветвления
• Fröhlich, A .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 27 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36664-X. Zbl  0744.11001 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория поля локальных классов». В Касселсе, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. С. 128–161. Zbl  0153.07403 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля . Тексты для выпускников по математике. 67 . Перевод Гринберга, Марвин Джей . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Руководство по ремонту  0554237 . Zbl  0423.12016 .
• Снайт, Виктор П. (1994). Структура модуля Галуа . Монографии Института Филдса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0264-X. Zbl  0830.11042 .