Функтор Tor

В математике , то функторы Tor являются производными функторами по тензорному произведению модулей над кольцом . Наряду с функтором Ext , Tor - одно из центральных понятий гомологической алгебры , в котором идеи алгебраической топологии используются для построения инвариантов алгебраических структур. Гомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр все они могут быть определены в терминах Tor. Название происходит от соотношения между первой группой Tor Tor ₁ и подгруппой кручения в качестве абелевой группы.

В частном случае абелевых групп, Тор был введен Эдуардом Чех (1935) и назван Эйленбергом около 1950. ^[1] Он был впервые применен к теореме Кюннеты и универсальной теореме коэффициентов в топологии. Для модулей над любым кольцом Tor был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года « Гомологическая алгебра» . ^[2]

Определение [ править ]

Пусть R - кольцо . Написать R -Mod для категории из левых R - модулей и модулирования R для категории правых R - модулей. (Если R является коммутативным , эти две категории могут быть идентифицированы.) При фиксированном левого R - модуля B , пусть для А в модулирования R . Это точный справа функтор из Mod- R в категорию абелевых групп Ab, поэтому он имеет производные слева функторы ${\ displaystyle T (A) = A \ otimes _ {R} B}$ ${\ displaystyle L_ {i} T}$ . Группы Tor - это абелевы группы, определенные формулой

\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),

для целого числа i . По определению это означает: возьмите любую проективную резольвенту

\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,

удалите член A и сформируйте цепной комплекс :

\cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0

Для каждого целого числа i группа является гомологией этого комплекса в позиции i . Это ноль для отрицательного значения i . Кроме того, это Коядро карты , которая изоморфна с . $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)$ $\operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)$ $P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B$ $A\otimes _{R}B$

В качестве альтернативы, можно определить Tor путем фиксации A и принимая левые производные функтора правого точного функтора G ( B ) = ⊗ _R B . То есть тензор A с проективной резольвентой B и гомологии. Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной резольвенты и что обе конструкции дают одни и те же группы Tor. ^[3] Более того, для фиксированного кольца R Tor является функтором по каждой переменной (от R -модулей до абелевых групп).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B Tor^R
_i( A , B ) является R -модулем ( в этом случае A ⊗ _R B является R -модулем). Для некоммутативного кольца R Tor^R
_i( A , B ), вообще говоря, только абелева группа. Если R - алгебра над кольцом S (что, в частности, означает коммутативность S ), то Tor^R
_i( A , B ) - по крайней мере, S -модуль.

Свойства [ править ]

Вот некоторые из основных свойств и вычислений групп Tor. ^[4]

Тор^R
₀( , B ) ≅ ⊗ _R B для любого правого R - модуля А и левого R - модуля B .

Тор^R
_i( , B ) = 0 для всех I > 0 , если либо или Б является плоским (например, свободным ) в качестве R - модуля. Фактически, можно вычислить Tor, используя плоское разрешение A или B ; это более общее, чем проективное (или свободное) разрешение. ^[5]

Есть обратное к предыдущему утверждению:
- Если Tor^R
  ₁( A , B ) = 0 для всех B , то A плоский (следовательно, Tor^R
  _i( A , B ) = 0 для всех i > 0).
- Если Tor^R
  ₁( A , B ) = 0 для всех A , то B плоский (следовательно, Tor^R
  _i( A , B ) = 0 для всех i > 0).

По общим свойствам производных функторов каждая короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 правых R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида ^[6]

\cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,

для любого левого R - модуля B . Аналогичная точная последовательность верна и для Tor относительно второй переменной.

Симметрия: для коммутативного кольца R существует естественный изоморфизм Tor^R
_i( A , B ) ≅ Tor^R
_i( Б , А ). ^[7] (Для коммутативного R нет необходимости различать левый и правый R -модули.)

Если R является коммутативным кольцом и у в R не является делителем нуля , то для любого R - модуля B ,

\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

куда

B[u]=\{x\in B:ux=0\}

это у -кручения подгруппа группы B . Это объяснение названия Tor. Принимая R , чтобы кольцо целых чисел, это вычисление может быть использовано для вычисления для любой конечно порожденной абелевой группы A .

\mathbb {Z}

\operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)

Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Tor, которые включают фактор коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[8] Например, если R - кольцо многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] над полем k , то это внешняя алгебра над k на n образующих в Tor ₁ . $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$

$\operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0$ для всех i ≥ 2. Причина: каждая абелева группа A имеет свободную резольвенту длины 1, поскольку каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой.

Для любого кольца R Tor сохраняет прямые суммы (возможно, бесконечные) и отфильтрованные копределы по каждой переменной. ^[9] Например, в первой переменной это означает, что

{\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}

Плоская замена базы: для коммутативной плоской R -алгебры T , R -модулей A и B и целого числа i , ^[10]

\mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).

Отсюда следует, что Tor коммутирует с локализацией . То есть, для мультипликативно замкнутого множества S в R ,

S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).

Для коммутативного кольца R и коммутативных R -алгебр A и B Tor^R
_*( , Б ) имеет структуру градуированной тивной алгебры над R . Более того, элементы нечетной степени в алгебре Tor имеют нулевой квадрат, а над элементами положительной четной степени выполняются операции деления мощности . ^[11]

Важные особые случаи [ править ]

Группа гомологии определяется , где G представляет собой группу, М представляет собой представление из G над целыми числами, и это групповое кольцо из G . $H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),$ $\mathbb {Z} [G]$

Для алгебры А над полем к и А - бимодулю М , Хохшильд гомология определяются

HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).

Гомологии алгебр Ли определяются как , где - алгебра Ли над коммутативным кольцом R , M - a -модуль и - универсальная обертывающая алгебра . $H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $U{\mathfrak {g}}$

Для коммутативного кольца R с гомоморфизмом на поле к , является градуированным-коммутативной алгебра Хопф над к . ^[12] (Если R - нетерово локальное кольцо с полем вычетов k , то двойственная алгебра Хопфа к является Ext $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$ $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$ ^*
_R( k , k ).) Как алгебра, это свободная градуированно-коммутативная алгебра разделенных степеней на градуированном векторном пространстве π _* ( R ). ^[13] Когда k имеет нулевую характеристику , π _* ( R ) можно отождествить с гомологиями Андре-Квиллена D _* ( k / R , k ). ^[14] $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$

См. Также [ править ]

Плоский морфизм
Формула пересечения Серра
Производное тензорное произведение
Спектральная последовательность Эйленберга – Мура

Заметки [ править ]

^ Weibel (1999).
^ Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
^ Weibel (1994), раздел 2.4 и теорема 2.7.2.
^ Weibel (1994), главы 2 и 3.
^ Вейбель (1994), лемма 3.2.8.
^ Weibel (1994), определение 2.1.1.
^ Weibel (1994), замечание в разделе 3.1.
^ Weibel (1994), раздел 4.5.
^ Weibel (1994), следствие 2.6.17.
^ Вейбель (1994), следствие 3.2.10.
↑ Аврамов и Гальперин (1986), раздел 2.16; Stacks Project, тег 09PQ.
↑ Аврамов и Гальперин (1986), раздел 4.7.
^ Гулликсен и Левин (1969), теорема 2.3.5; Шёдин (1980), теорема 1.
^ Квиллен (1970), раздел 7.

Ссылки [ править ]

Аврамов, Лучезар ; Гальперин, Стивен (1986), «В зеркало: словарь между теорией рациональной гомотопии и локальной алгеброй», в J.-E. Руса (ред.), Алгебра, алгебраическая топология, и их взаимодействие (Стокгольм, 1983) , Лекции по математике, 1183 , Springer Природа , С. 1-27,. Дои : 10.1007 / BFb0075446 , ISBN 978-3-540-16453-1, Руководство по ремонту 0846435
Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, Руководство по ремонту 0077480
Чех, Эдуард (1935), "Les Groupes де Betti d'ООН Complexe Infini" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 25 : 33-44, DOI : 10,4064 / фм-25-1-33-44 , JFM 61.0609.02
Гулликсен, Тор; Левин, Герсон (1969), Гомологии локальных колец , Документы Королевы по чистой и прикладной математике, 20 , Королевский университет, MR 0262227
Quillen, Daniel (1970), "О (ко-) гомологиях коммутативных колец", Приложения категориальной алгебры , Proc. Symp. Pure Mat., 17 , Американское математическое общество , стр. 65–87, MR 0257068
Sjödin, Гуннар (1980), "Хопф алгебра и дифференцирование", журнал алгебра , 64 : 218-229, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-X , МР 0575792
Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту 1269324 . OCLC 36131259 .
Вейбель, Чарльз (1999), "История гомологической алгебры", История топологии (PDF) , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, MR 1721123

Внешние ссылки [ править ]

Авторы проекта Stacks, проект Stacks

[1] Weibel (1999).

[2] Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.

[3] Weibel (1994), раздел 2.4 и теорема 2.7.2.

[4] Weibel (1994), главы 2 и 3.

[5] Вейбель (1994), лемма 3.2.8.

[6] Weibel (1994), определение 2.1.1.

[7] Weibel (1994), замечание в разделе 3.1.

[8] Weibel (1994), раздел 4.5.

[9] Weibel (1994), следствие 2.6.17.

[10] Вейбель (1994), следствие 3.2.10.

[11] Аврамов и Гальперин (1986), раздел 2.16; Stacks Project, тег 09PQ.

[12] Аврамов и Гальперин (1986), раздел 4.7.

[13] Гулликсен и Левин (1969), теорема 2.3.5; Шёдин (1980), теорема 1.

[14] Квиллен (1970), раздел 7.

[1]