Пусть к быть поле, ассоциативный к - алгебра , а М - бимодуль . Обертывающая алгебра A - это тензорное произведениеиз А с его противоположной алгеброй . Бимодули над A по существу такие же, как модули над обертывающей алгеброй над A , поэтому, в частности, A и M можно рассматривать как A e -модули. Картан и Эйленберг (1956) определили группу гомологий и когомологий Хохшильда алгебры A с коэффициентами в M в терминах функтора Tor и Ext :
Гомологии Хохшильда - это гомологии этого симплициального модуля.
Связь с Барным комплексом
Есть похожий на вид комплекс называется комплексом Бар, который формально очень похож на комплекс Хохшильда [1] стр. 4-5 . Фактически, комплекс Хохшильда может быть восстановлен из Барного комплекса как
дающий явный изоморфизм.
Как производное самопересечение
Там другая полезная интерпретация комплекса Хохшильда в случае коммутативных колец, а в более общем случае , для пучков коммутативных колец: она построена из производного самопересечении о наличии схемы (или даже получена схема) по некоторой базовой схеме . Например, мы можем сформировать производный волокнистый продукт
имеющий пучок производных колец . Тогда, если встроить с диагональной картой
комплекс Хохшильда строится как возврат производного самопересечения диагонали в схеме диагонального произведения
Из этой интерпретации должно быть ясно, что гомологии Хохшильда должны иметь какое-то отношение к дифференциалам Келера. так как дифференциалы Калера могут быть определены с помощью самопересечения от диагонали или, в более общем смысле, котангенсного комплексапоскольку это производная замена дифференциалов Келера. Мы можем восстановить исходное определение комплекса Хохшильда коммутативной -алгебра установив
Если это квартира -алгебра, то есть цепь изоморфизма
дает альтернативное, но эквивалентное представление комплекса Хохшильда.
Гомологии Хохшильда функторов
Симплициальная круг симплициальный объект в категории конечных отмеченных множеств, т. е. функтор Таким образом, если F - функтор, мы получим симплициальный модуль, составив F с.
Гомологии этого симплициального модуля является Hochschild гомологии функтора F . Приведенное выше определение гомологий Хохшильда коммутативных алгебр является частным случаем, когда F - функтор Лоде .
Loday функтор
Скелет для категории конечных множеств заостренных задаются объекты
где 0 - базовая точка, а морфизмы - карты множества, сохраняющие базовую точку. Пусть A - коммутативная k-алгебра, а M - симметричный A -бимодуль [ требуется дополнительное пояснение ] . Функтор Лодея дается на объектах в от
Морфизм
отправляется на морфизм дано
где
Другое описание гомологий Хохшильда алгебр
Гомологиями Хохшильда коммутативной алгебры A с коэффициентами в симметрическом A -бимодуле M называются гомологии, ассоциированные с композицией
и это определение согласуется с приведенным выше.
Примеры
Примеры вычислений гомологий Хохшильда можно разделить на ряд различных случаев с помощью довольно общих теорем, описывающих структуру групп гомологий и кольца гомологий. для ассоциативной алгебры . В случае коммутативных алгебр существует ряд теорем, описывающих вычисления над характеристикой 0, дающих прямое понимание того, что вычисляют гомологии и когомологии.
Коммутативная характеристика 0 случай
В случае коммутативных алгебр где гомологии Хохшильда имеют две основные теоремы, касающиеся гладких алгебр, и более общие неплоские алгебры ; но второй является прямым обобщением первого. В гладком случае, т.е. для гладкой алгебры, теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга [2] стр. 43-44 утверждает, что существует изоморфизм
для каждого . Этот изоморфизм можно явно описать с помощью карты антисимметризации. То есть дифференциальная n-форма имеет отображение
Если алгебра не является гладким или даже плоским, то есть аналогичная теорема, использующая комплекс котангенса . Для симплициального разрешения , мы установили . Тогда существует нисходящая -фильтрация на чьи градуированные части изоморфны
Обратите внимание, что эта теорема позволяет вычислять гомологии Хохшильда не только для гладких алгебр, но и для локальных полных алгебр пересечений. В этом случае, учитывая презентацию для , котангенс - это двухчленный комплекс .
Кольца многочленов над рациональными числами
Один простой пример - вычислить гомологии Хохшильда кольца многочленов с участием -генераторы. Теорема HKR дает изоморфизм
где алгебра свободная антисимметричная алгебра над в -генераторы. Его структура продукта задается произведением векторов клина , поэтому
для .
Коммутативная характеристика p случай
В характеристическом случае p есть полезный контрпример к теореме Хохшильда-Костанта-Розенберга, который разъясняет необходимость теории, выходящей за рамки симплициальных алгебр, для определения гомологий Хохшильда. Рассмотрим-алгебра . Мы можем вычислить разрешение как свободные дифференциальные градуированные алгебры
давая производное пересечение где а дифференциал - это нулевое отображение. Это потому, что мы просто тензорируем комплекс выше на , давая формальный комплекс с образующим в степени который квадратов к . Тогда комплекс Хохшильда задается формулой
Чтобы вычислить это, мы должны решить как -алгебра. Отметим, что структура алгебры
силы . Это дает член нулевой степени комплекса. Затем, поскольку мы должны разрешить ядро, мы можем сделать копию сдвинут в градусе и пусть это будет , с ядром в степени Мы можем выполнить это рекурсивно, чтобы получить базовый модуль алгебры разделенных степеней
с участием и степень является , а именно . Тензор этой алгебры с помощью над дает
поскольку умножается на любой элемент в равно нулю. Структура алгебры исходит из общей теории алгебр с разделенными степенями и дифференциальных градуированных алгебр. [3] Обратите внимание, что это вычисление рассматривается как технический артефакт, потому что кольцо ведет себя не очень хорошо. Например, . Одним из технических ответов на эту проблему является топологическая гомология Хохшильда, где базовое кольцо заменяется сферическим спектром.
Топологические гомологии Хохшильда
Вышеупомянутая конструкция комплекса Хохшильда может быть адаптирована к более общим ситуациям, а именно путем замены категории (комплексов) -модули по ∞-категории (с тензорным произведением), а также ассоциативной алгеброй в этой категории. Применяя это к категориииз спектров , ибудучи спектр Эйленберга-Маклейна , связанный с обычным кольцомдает топологические гомологии Хохшильда , обозначаемые. (Нетопологические) гомологии Хохшильда, введенные выше, могут быть переинтерпретированы в этом направлении, взяв запроизводная категория из-модули (как ∞-категория).
Замена тензорных произведений по спектру сфер на тензорные произведения по (или спектр Эйленберга – Маклейна ) приводит к естественной карте сравнения . Он индуцирует изоморфизм на гомотопических группах степеней 0, 1 и 2. В общем, однако, они разные, иимеет тенденцию давать более простые группы, чем HH. Например,
- кольцо многочленов (с x в степени 2) по сравнению с кольцом разделенных степеней одной переменной.
Ларс Хессельхольт ( 2016 ) показал, что дзета-функция Хассе – Вейля гладкого собственного многообразия надможно выразить с помощью регуляризованных определителей, включающих топологические гомологии Хохшильда.
Смотрите также
Циклическая гомология
Рекомендации
^ Морроу, Мэтью. "Топологические гомологии Хохшильда в арифметической геометрии" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 24 декабря 2020 года.
^Гинзбург, Виктор (29.06.2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math / 0506603 .
^«Раздел 23.6 (09PF): Резолюции Тейт - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 31 декабря 2020 .
Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1956), гомологическая алгебра , Princeton Mathematical Series, 19 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, Руководство по ремонту 0077480
Говоров В.Е .; Михалев, А.В. (2001) [1994], "Когомологии алгебр" , Энциклопедия математики , EMS Press
Hochschild, Gerhard (1945), "О группах когомологий ассоциативной алгебры", Анналы математики , второй серии, 46 (1): 58-67, DOI : 10,2307 / 1969145 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969145 , MR 0011076
Жан-Луи Лодэ , Циклические гомологии , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
Ричард С. Пирс, Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике (88), Springer, 1982.
Пирашвили, Теймураз (2000). «Разложение Ходжа для гомологий Хохшильда более высокого порядка» . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (2): 151–179. DOI : 10.1016 / S0012-9593 (00) 00107-5 .
Внешние ссылки
Вводные статьи
Дилан Г. Л. Аллегретти, Дифференциальные формы на некоммутативных пространствах . Элементарное введение в некоммутативную геометрию, в которой гомологии Хохшильда используются для обобщения дифференциальных форм).
Гинзбург, Виктор (2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math / 0506603 .
Топологические гомологии Хохшильда в арифметической геометрии
Когомологии Хохшильда в nLab
Коммутативный падеж
Антио, Бенджамин; Бхатт, Бхаргав; Мэтью, Ахил (2019). «Контрпримеры к Хохшильду – Костанту – Розенбергу в характеристике p ». arXiv : 1909.11437 [ math.AG ].
Некоммутативный случай
Ричард, Лайонел (2004). «Гомологии и когомологии Хохшильда некоторых классических и квантовых некоммутативных алгебр многочленов» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 187 (1–3): 255–294. DOI : 10.1016 / S0022-4049 (03) 00146-4 .
Куддус, Сафдар (2020). «Некоммутативные пуассоновы структуры на квантовых орбифолдах тора». arXiv : 2006.00495 [ math.KT ].