Скелет (теория категорий)

В математике , скелет из категории является подкатегорию , что, грубо говоря, не содержит каких - либо посторонних изоморфизмы . В определенном смысле каркас категории - это «наименьшая» эквивалентная категория, которая отражает все «категориальные свойства» оригинала. Фактически, две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфный скелет. Категория называется скелетной, если изоморфные объекты обязательно идентичны.

Определение [ править ]

Скелет категории C - это эквивалентная категория D, в которой никакие два различных объекта не изоморфны. Это обычно считается подкатегорией. Подробно, скелет C - это категория D такая, что:

• D является подкатегорией из C : каждый объект D является объектом C

${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} (D) \ substeq \ mathrm {Ob} (C)}$

для каждой пары объектов d ₁ и d ₂ из D , то морфизмы в D являются морфизмами в C , т.е.

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) \ substeq \ mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

и тождество и композиция в D являются ограничениями в том C .

• Включение D в C является полным , что означает, что для каждой пары объектов d ₁ и d ₂ из D мы усиливаем указанное выше отношение подмножества до равенства:

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) = \ mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

• Включение D в C является по существу сюръективно : Каждым С -объектом изоморфно некоторым D -объектом.
• D является скелетным: никакие два различных D -объекта не изоморфны.

Существование и уникальность [ править ]

Это основной факт, что у каждой небольшой категории есть скелет; В более общем смысле, у каждой доступной категории есть скелет. (Это эквивалентно аксиоме выбора .) Кроме того, хотя категория может иметь много различных скелетов, любые два скелета изоморфны как категории , поэтому с точностью до изоморфизма категорий скелет категории уникален .

Важность скелетов исходит из того , что они (до изоморфизма категории) канонические представители классов эквивалентности категорий под отношением эквивалентности по эквивалентности категорий . Это следует из того факта, что любой скелет категории C эквивалентен C и что две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные скелеты.

Примеры [ править ]

• Категория Набор всех наборов имеет подкатегорию всех кардинальных чисел в качестве скелета.
• Категория K -Vect всех векторных пространств над фиксированным полем имеет подкатегорию, состоящую из всех степеней , где α - любое кардинальное число, в качестве каркаса; для любого конечного т и п , карты в точности п × м матрицы с элементами из K .${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{(\alpha )}}$${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$
• FinSet , категория всех конечных множеств, имеет FinOrd , категорию всех конечных порядковых чисел , в качестве скелета.
• Категория всех упорядоченных множеств имеет подкатегорию всех порядковых чисел в качестве скелета.
• Предварительный заказ , то есть небольшая категория, такая, что для каждой пары объектов набор либо имеет один элемент, либо пустой, имеет частично упорядоченный набор в качестве скелета.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle Hom(A,B)}$

См. Также [ править ]

• Глоссарий теории категорий
• Тонкая категория

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории . Первоначально опубликовано John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (теперь бесплатная онлайн-версия)
• Роберт Голдблатт (1984). Топои, Категориальный анализ логики (Исследования по логике и основам математики, 98). Северная Голландия. Перепечатано в 2006 г. издательством Dover Publications.