Производная схема

В алгебраической геометрии , A , полученная схема является парой , состоящей из топологического пространства X и пучок из коммутативных кольцевых спектров ^[1] на X такой , что (1) пара является схемой и (2) представляет собой квазикогерентный - модуль . Это понятие дает гомотопически- теоретическое обобщение схемы.${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle (X, \ pi _ {0} {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle \ pi _ {k} {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} {\ mathcal {O}}}$

Полученный стек является stacky обобщения производной схемы.

Дифференциально-градуированная схема [ править ]

В поле нулевой характеристики теория эквивалентна теории дифференциальной градуированной схемы. По определению дифференциальная градуированная схема получается склейкой аффинных дифференциальных градуированных схем относительно этальной топологии . ^[2] Он был введен Максимом Концевичем ^[3] «как первый подход к производной алгебраической геометрии». ^[4] и был развит Михаилом Капрановым и Ионутом Чокан-Фонтанином.

Связь с дифференциальными градуированными кольцами и примеры [ править ]

Так же, как аффинная алгебраическая геометрия эквивалентна (в категорическом смысле ) теории коммутативных колец (обычно называемой коммутативной алгеброй ), аффинная производная алгебраическая геометрия над нулевой характеристикой эквивалентна теории коммутативных дифференциальных градуированных колец . Один из основных примеров производных схем происходит от производного пересечения подсхем схемы, что дает комплекс Кошуля . Например, пусть , тогда мы можем получить производную схему ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k} \ in \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] = R}$

${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {\ bullet}) = \ mathbf {RSpec} \ left (R / (f_ {1}) \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} \ cdots \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} R / (f_ {k}) \ right)}$

где

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

- этальный спектр . ^{[ необходима цитата ]} Поскольку мы можем построить резолюцию

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

полученное кольцо является Кошуля комплекс . Усечение этой производной схемы до амплитуды дает классическую модель, мотивирующую производную алгебраическую геометрию. Обратите внимание, что если у нас есть проективная схема${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$${\displaystyle [-1,0]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

где мы можем построить производную схему, где${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

с амплитудой ${\displaystyle [-1,0]}$

Котангенс комплекс [ править ]

Строительство [ править ]

Пусть - фиксированная дифференциальная градуированная алгебра, определенная над полем характеристики . Тогда -дифференциальная градуированная алгебра называется полусвободной, если выполняются следующие условия:${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A_{\bullet }}$${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$

1. Основная градуированная алгебра является алгеброй полиномов над , что означает, что она изоморфна${\displaystyle R_{\bullet }}$${\displaystyle A_{\bullet }}$${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. Существует фильтрация на множестве индексации где и для любого .${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$${\displaystyle s(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$

Оказывается, любая дифференциальная градуированная алгебра допускает сюръективный квазиизоморфизм полусвободной дифференциальной градуированной алгебры, называемый полусвободной резольвентой. Они уникальны с точностью до гомотопической эквивалентности в подходящей модельной категории. (Относительный) кокасательный комплекс из -дифференциальной градуированной алгебры может быть построен с использованием пола-свободное разрешения : оно определяется как${\displaystyle A_{\bullet }}$${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }}$

Многие примеры можно построить, взяв алгебру, представляющую многообразие над полем характеристики 0, найдя представление как фактор алгебры многочленов и взяв комплекс Кошуля, связанный с этим представлением. Комплекс Кошуля действует как полусвободная резольвента дифференциальной градуированной алгебры, где - градуированная алгебра с нетривиальной градуированной частью степени 0.${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$${\displaystyle B_{\bullet }}$

Примеры [ править ]

Кокасательный комплекс гиперповерхности может быть легко вычислен: так как мы имеем DGA , представляющий производное усиление из , мы можем вычислить кокасательный комплекс , как${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle K_{R}(f)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

где и - обычный универсальный вывод. Если взять полное пересечение, то комплекс Кошуля${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

квазиизоморфен комплексу

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

Это означает, что мы можем построить комплекс котангенса производного кольца как тензорное произведение указанного выше комплекса котангенса для каждого из них .${\displaystyle R^{\bullet }}$${\displaystyle f_{i}}$

Замечания [ править ]

Обратите внимание, что котангенсный комплекс в контексте производной геометрии отличается от котангенсного комплекса классических схем. А именно, если бы в гиперповерхности была особенность, то комплекс котангенса имел бы бесконечную амплитуду. Эти наблюдения мотивируют философию скрытой гладкости производной геометрии, поскольку сейчас мы работаем с комплексом конечной длины.${\displaystyle f}$

Касательные комплексы [ править ]

Полиномиальные функции [ править ]

Для данной полиномиальной функции рассмотрим (гомотопическую) диаграмму обратного отсчета${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

где нижняя стрелка - включение точки в начале координат. Тогда производная схема имеет касательный комплекс в точке и задается морфизмом${\displaystyle Z}$${\displaystyle x\in Z}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

где комплекс имеет амплитуду . Обратите внимание, что касательное пространство может быть восстановлено с помощью и мер, насколько далеко от точки плавности.${\displaystyle [-1,0]}$${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle H^{-1}}$${\displaystyle x\in Z}$

Коэффициенты стека [ править ]

Учитывая стек, есть хорошее описание касательного комплекса:${\displaystyle [X/G]}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X}$

Если морфизм не инъективен, снова измеряется сингулярность пространства. Кроме того, эйлерова характеристика этого комплекса дает правильную (виртуальную) размерность частного стека. В частности, если мы посмотрим на стек модулей главных -расслоений, то касательный комплекс будет справедливым .${\displaystyle H^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$

Производные схемы в сложной теории Морса [ править ]

Полученные схемы могут быть использованы для анализа топологических свойств аффинных многообразий. Например, рассмотрим гладкое аффинное многообразие . Если взять обычную функцию и рассмотреть сечение${\displaystyle M\subset \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega _{M}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}}$

Затем мы можем взять полученную диаграмму отката

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\Omega _{M}\end{matrix}}}$

где - нулевое сечение, строящее производное критическое геометрическое место регулярной функции .${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

Пример [ править ]

Рассмотрим аффинное многообразие

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

и регулярная функция, заданная как . Затем,${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

где мы рассматриваем две последние координаты как . Производное критическое геометрическое место тогда является производной схемой${\displaystyle dx,dy}$

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right)}$

Обратите внимание: поскольку левый член в производном пересечении является полным пересечением, мы можем вычислить комплекс, представляющий производное кольцо как

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

где находится кошуловый комплекс.${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$

Производный критический локус [ править ]

Рассмотрим гладкую функцию, где гладко. Производное усиление , производное критическое геометрическое место , дается дифференциальной градуированной схемой, где нижележащим градуированным кольцом являются поливекторные поля${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Crit}}(f)}$${\displaystyle (M,{\mathcal {A}}^{\bullet },Q)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-i}=\wedge ^{i}T_{M}}$

а дифференциал определяется сжатием на .${\displaystyle Q}$${\displaystyle df}$

Пример [ править ]

Например, если

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

у нас есть комплекс

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

представляет собой производное усиление .${\displaystyle {\text{Crit}}(f)}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Достижение производной алгебраической геометрии - Mathoverflow
• М. Анель, Геометрия неоднозначности
• К. Беренд, О виртуальном фундаментальном классе
• П. Гёрсс, Топологические модульные формы [по Хопкинсу, Миллеру и Лурье]
• Б. Тоен, Введение в производную алгебраическую геометрию
• М. Манетти, Котангенс в характеристике 0
• Г. Веццози, Производный критический локус I - основы