Категория симплекс

В математике , то симплекс категория (или симплициальные категории или непустая конечная порядковая категория ) является категорией из непустых конечных порядковых и карт порядка сохранения . Он используется для определения симплициальных и косимплициальных объектов.

Формальное определение [ править ]

Симплекс категории обычно обозначается . Есть несколько эквивалентных описаний этой категории. может быть описана как категория непустых конечных ординалов как объектов, рассматриваемых как полностью упорядоченные множества, и как слабо сохраняющие порядок функции как морфизмы . Объекты обычно обозначаются (так это порядковый номер ). Категория создается с помощью карт coface и codegeneracy, которые сводятся к вставке или удалению элементов порядков. (См. Симплициальное множество отношений этих отображений.) ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle [п] = \ {0,1, \ точки, п \}}$ ${\ Displaystyle [п]}$ ${\ displaystyle n + 1}$

Симплициальная объект является Предпучком на , то есть контравариантный функтор из к другой категории. Например, симплициальные множества контравариантны с категорией кодобласти, являющейся категорией множеств. Косимплициальная объекта определяется аналогично как ковариантный функтор происходящих из . ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$

Расширенная симплексная категория [ править ]

Дополненной симплекс категория , обозначенная является категорией всех конечных ординалов и карт , сохраняющего порядка , таким образом , где . Соответственно, эту категорию можно также обозначить FinOrd . Расширенную симплексную категорию иногда называют симплексной категорией алгебраистов, а вышеприведенную версию называют симплексной категорией топологов. ${\ displaystyle \ Delta _ {+}}$ ${\ Displaystyle \ Delta _ {+} = \ Delta \ cup [-1]}$ ${\ displaystyle [-1] = \ emptyset}$

Контравариантный функтор, определенный на , называется расширенным симплициальным объектом, а ковариантный функтор вне называется расширенным косимплициальным объектом ; например, когда категория содомена является категорией множеств, они называются расширенными симплициальными множествами и расширенными косимплициальными множествами соответственно. ${\ displaystyle \ Delta _ {+}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {+}}$

Расширенная симплексная категория, в отличие от симплексной категории, допускает естественную моноидальную структуру . Моноидальное произведение дается путем конкатенации линейных порядков, а единицей измерения является пустой порядковый номер (отсутствие единицы не позволяет квалифицировать это как моноидальную структуру ). Фактически, это моноидальная категория, свободно порожденная одним моноидным объектом , заданным с помощью единственной возможной единицы и умножения. Это описание полезно для понимания того, как любой комоноидный объект в моноидальной категории порождает симплициальный объект, поскольку его затем можно рассматривать как изображение функтора из ${\ displaystyle [-1]}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {+}}$ ${\ displaystyle [0]}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {+} ^ {\ text {op}}}$ к моноидальной категории, содержащей комоноид; забывая об увеличении, мы получаем симплициальный объект. Точно так же это также проливает свет на построение симплициальных множеств из монад (и, следовательно, присоединенных функторов ), поскольку монады можно рассматривать как моноидные объекты в категориях эндофункторов .

Расширенная симплексная категория представляет собой простой пример компактной закрытой категории .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная теория гомотопий . Успехи в математике. 174 . Базель – Бостон – Берлин: Birkhäuser. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1. Руководство по ремонту 1711612 .