В теории категорий , разделе математики , компактные замкнутые категории являются общим контекстом для рассмотрения двойственных объектов . Идея двойного объекта обобщает более привычную концепцию двойного о конечномерном векторном пространстве . Итак, мотивирующим примером компактной замкнутой категории является FdVect , категория, имеющая конечномерные векторные пространства как объекты и линейные отображения как морфизмы , с тензорным произведением как моноидальная структура. Другой пример - Rel, категория, имеющая множества как объекты и отношения как морфизмы, с декартовой моноидальной структурой .
Симметричная компактная замкнутая категория
Симметричная моноидальная категория это компактное замкнутое , если каждый объектимеет двойственный объект . В этом случае двойственный объект уникален с точностью до канонического изоморфизма и обозначается.
Чуть подробнее объект называется двойным изесли он снабжен двумя морфизмами, называемыми единицей и графство , удовлетворяющие уравнениям
а также
где - ввод блока слева и справа, соответственно, и является ассоциатором.
Для наглядности перепишем приведенные выше композиции схематично. Для того чтобы чтобы быть компактно замкнутыми, нам нужны следующие композиты, равные :
а также :
Определение
В более общем плане предположим является моноидальной категорией , не обязательно симметричной, как, например, в случае предгрупповой грамматики . Вышеупомянутое понятие двойногодля каждого объекта A заменяется объектом , имеющим как левое, так и правое сопряжение , а также , с соответствующей левой единицей , правый блок , левая сторона , и правая сторона . Они должны удовлетворять четырем условиям дергания , каждое из которых является идентичностью:
а также
То есть в общем случае компактная замкнутая категория бывает и левой, и правой жёсткой и двузамкнутой .
Несимметричные компактные замкнутые категории находят применение в лингвистике , в области категориальных грамматик и, в частности, в грамматиках предгрупп , где различные левые и правые сопряжения требуются для определения порядка слов в предложениях. В этом контексте компактные замкнутые моноидальные категории называются предгруппами ( Ламбека ) .
Характеристики
Компактные замкнутые категории - это частный случай моноидальных замкнутых категорий , которые, в свою очередь, являются частным случаем замкнутых категорий .
Компактные закрытые категории - это в точности симметричные автономные категории . Они также * -автономны .
Каждая компактная замкнутая категория C имеет след . А именно для каждого морфизма, можно определить
что можно показать как правильный след. Это помогает изобразить это схематично:
Примеры
Каноническим примером является категория FdVect с конечномерными векторными пространствами как объектами и линейными отображениями как морфизмами. Здесь является обычным двойственным векторным пространством .
Категория конечномерных представлений любой группы также компактно замкнута.
Категория Vect со всеми векторными пространствами как объектами и линейными отображениями как морфизмами не является компактно замкнутой; он является симметричным моноидально замкнутым.
Категория симплекс
Симплекс категория может быть использована для построения примера несимметричной компактной замкнутой категории. Симплекс категория является категорией ненулевых конечных порядковых (рассматривается как вполне упорядоченных множеств ); его морфизмы являются сохраняющими порядок ( монотонными ) отображениями. Мы превращаем его в моноидальную категорию, перейдя в категорию стрелки , так что объекты являются морфизмами исходной категории, а морфизмы - коммутирующими квадратами . Тогда тензорное произведение категории стрелки является исходным оператором композиции. Левый и правый сопряженные элементы - это операторы min и max; в частности, для монотонного отображения f имеется сопряженный справа
и левый прилегающий
Левая и правая части и счетчики:
Тогда одно из условий дергания:
Остальные следуют аналогичным образом. Соответствие можно сделать понятнее, написав стрелку вместо , и используя для функциональной композиции .
Кинжал компактной категории
Крестик симметричная моноидалъная категория , которая является компактным замкнутым является кинжалом компактной категории .
Жесткая категория
Моноидальная категория, которая не является симметричной, но в остальном подчиняется аксиомам двойственности выше, известна как жесткая категория . Моноидальная категория, в которой каждый объект имеет двойственную левую (соответственно правую) категорию, также иногда называют левой (соответственно правой) автономной категорией. Моноидальная категория, в которой каждый объект имеет как левую, так и правую двойственную категорию, иногда называется автономной категорией . Автономная категория, которая также является симметричной , тогда является компактной замкнутой категорией.
Рекомендации
Келли, GM ; Лаплаза, МЛ (1980). «Согласованность для компактных замкнутых категорий». Журнал чистой и прикладной алгебры . 19 : 193–213. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (80) 90101-2 .