В математике , А * -autonomous (читайте «звезда-автономна») категории C является симметричной моноидальной замкнутой категорией оборудован объектом дуализирующего. Эту концепцию также называют категорией Гротендика-Вердье ввиду ее связи с понятием двойственности Вердье .
Определение
Пусть C - симметричная моноидальная замкнутая категория. Для любого объекта A и, существует морфизм
определяется как изображение биекцией, определяющей моноидальное замыкание
морфизма
где - симметрия тензорного произведения. Объекткатегории C называется дуализирующим, если ассоциированный морфизмявляется изоморфизмом для любого объекта А в категории С .
Эквивалентно * -автономная категория - это симметричная моноидальная категория C вместе с функторомтакое, что для каждого объекта A существует естественный изоморфизм, и для каждых трех объектов A , B и C существует естественная биекция
- .
Тогда дуализирующий объект C определяется следующим образом:. Эквивалентность двух определений показана путем определения.
Характеристики
Компактные замкнутые категории * -автономны с моноидальной единицей как дуализирующим объектом. Наоборот, если единицей * -автономной категории является дуализирующий объект, то существует каноническое семейство отображений
- .
Все это изоморфизмы тогда и только тогда, когда * -автономная категория компактно замкнута.
Примеры
Знакомый пример - категория конечномерных векторных пространств над любым полем k, сделанных моноидальными с помощью обычного тензорного произведения векторных пространств. Дуализирующим объектом является k , одномерное векторное пространство, а дуализация соответствует транспонированию. Хотя категория всех векторных пространств над k не является * -автономной, подходящие расширения категорий топологических векторных пространств можно сделать * -автономными.
С другой стороны, категория топологических векторных пространств содержит чрезвычайно широкий полную подкатегорию категории Ste из стереотипных пространств , который является * -autonomous категории с дуализирующим объектом и тензорное произведение .
Различные модели линейной логики образуют * -автономные категории, самой ранней из которых была категория пространств когерентности Жан-Ива Жирара .
Категория полных полурешеток с морфизмами, сохраняющими все соединения, но не обязательно пересекающимися, * -автономна с дуализирующей цепью из двух элементов. Вырожденный пример (все гоммножества мощности не более одного) дается любой булевой алгеброй (как частично упорядоченное множество ), сделанной моноидальной с использованием конъюнкции для тензорного произведения и принятием 0 в качестве дуализирующего объекта.
Формализм двойственности Вердье дает дополнительные примеры * -автономных категорий. Например, Боярченко и Дринфельд (2013) отмечают, что ограниченная производная категория конструктивных l-адических пучков на алгебраическом многообразии обладает этим свойством. Дальнейшие примеры включают производные категории конструктивных пучков на различных типах топологических пространств.
Примером самодвойственной категории, которая не является * -автономной, являются конечные линейные порядки и непрерывные функции, которые имеют *, но не являются автономными: ее дуализирующий объект - это двухэлементная цепь, но тензорное произведение отсутствует.
Категория множеств и их частичные инъекции самодвойственны, потому что обратное последнему снова является частичным введением.
Понятие * -автономной категории было введено Майклом Барром в 1979 г. в монографии с таким названием. Барр определен понятие для более общей ситуации V -Категории, категория обогащается в симметричном моноидноге или автономной категории V . Приведенное выше определение специализирует определение Барра на случай V = множество обычных категорий, гомобъекты которых образуют множества (морфизмов). Монография Барра включает приложение его ученика По-Сян Чу, которое развивает детали конструкции Барра, показывающей существование нетривиальных * -автономных V -категорий для всех симметричных моноидальных категорий V с откатами, объекты которых стали известны десять лет спустя как Пространства Чу .
Несимметричный случай
В двухзамкнутой моноидальной категории C , не обязательно симметричной, все же возможно определить дуализирующий объект, а затем определить * -автономную категорию как двусмысленную моноидальную категорию с дуализирующим объектом. Это эквивалентные определения, как и в симметричном случае.
Рекомендации
- Майкл Барр (1979). * -автономные категории . Конспект лекций по математике. 752 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / BFb0064579 . ISBN 978-3-540-09563-7.
- Майкл Барр (1995). «Несимметричные * -автономные категории». Теоретическая информатика . 139 : 115–130. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (94) 00089-2 . S2CID 14721961 .
- Майкл Барр (1999). «* -автономные категории: еще раз по трассе» (PDF) . Теория и приложения категорий . 6 : 5–24.
- Боярченко, Митя; Дринфельд, Владимир (2013), «Формализм двойственности в духе Гротендика и Вердье», Квантовая топология , 4 (4): 447–489, arXiv : 1108.6020 , doi : 10.4171 / QT / 45 , MR 3134025