Замкнутая моноидальная категория

---

В математике , особенно в теории категорий , замкнутая моноидальная категория (или моноидальная замкнутая категория ) — это категория , которая одновременно является и моноидальной категорией , и замкнутой категорией таким образом, что структуры совместимы.

Классическим примером является категория множеств Set , где моноидальное произведение множеств и есть обычное декартово произведение , а внутренний Hom есть множество функций от до . Недекартовым примером является категория векторных пространств K - Vect над полем . Здесь моноидальное произведение — обычное тензорное произведение векторных пространств , а внутреннее Hom — векторное пространство линейных отображений из одного векторного пространства в другое.${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle В}$ ${\ Displaystyle А \ раз В}$ ${\ Displaystyle В ^ {А}}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle В}$ ${\ Displaystyle К}$

Внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий — линейная логика , а система типов — линейная система типов . Многие примеры замкнутых моноидальных категорий симметричны . Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории могут встречаться в теоретико-категориальных формулировках лингвистики ; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Замкнутая моноидальная категория — это такая моноидальная категория , что для каждого объекта функтор , заданный правым тензором с${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle В}$

это естественно как для А , так и для С. В других, но общепринятых обозначениях можно было бы сказать, что функтор

Эквивалентно, замкнутая моноидальная категория — это категория, оснащенная для каждых двух объектов A и B с${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

---