Прослеженная моноидальная категория

В теории категорий , прослежена моноидальная категория представляет собой категорию с некоторой дополнительной структурой , которая дает разумное понятие обратной связи.

Прослежен симметричная моноидалъная категория является симметричными моноидальными категориями C вместе с семейством функций

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U}: \ mathbf {C} (X \ otimes U, Y \ otimes U) \ to \ mathbf {C} (X, Y)}$

называется следом , удовлетворяющим следующим условиям:

• естественность в : для каждого и ,${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ otimes U \ to Y \ otimes U}$${\ displaystyle g: X '\ to X}$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X ', Y} ^ {U} (f \ circ (g \ otimes \ mathrm {id} _ {U})) = \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U} (f) \ circ g}$

Естественность в X

• естественность в : для каждого и ,${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ otimes U \ to Y \ otimes U}$${\ displaystyle g: Y \ to Y '}$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X, Y '} ^ {U} ((g \ otimes \ mathrm {id} _ {U}) \ circ f) = g \ circ \ mathrm {Tr} _ {X , Y} ^ {U} (f)}$

Естественность в Y

• естественность в : для всех и${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f: X \ otimes U \ to Y \ otimes U '}$${\ displaystyle g: U '\ to U}$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U} ((\ mathrm {id} _ {Y} \ otimes g) \ circ f) = \ mathrm {Tr} _ {X, Y} ^ {U '} (f \ circ (\ mathrm {id} _ {X} \ otimes g))}$

Неестественность в U

• Исчезающий I: для каждого ( будучи правильным объединителем),${\ displaystyle f: X \ otimes I \ to Y \ otimes I}$${\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\cong X}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=\rho _{Y}\circ f\circ \rho _{X}^{-1}}$

Исчезновение I

• исчезающий II: для каждого ${\displaystyle f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(\mathrm {Tr} _{X\otimes U,Y\otimes U}^{V}(f))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U\otimes V}(f)}$

Исчезновение II

• наложение: для каждого и ,${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle g\otimes \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=\mathrm {Tr} _{W\otimes X,Z\otimes Y}^{U}(g\otimes f)}$

Наложение

• рывки:

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(\gamma _{X,X})=\mathrm {id} _{X}}$

(где - симметрия моноидальной категории).${\displaystyle \gamma }$

Янкинг

Свойства [ править ]

• Каждая компактная замкнутая категория имеет след.
• Учитывая трассируемый моноидальные категории C , то конструкция Int генерирует свободную (в некотором смысл) бикатегорный компактное замыкание Int ( C ) из C .

Ссылки [ править ]

• Андре Хоял , Росс-стрит , Доминик Верити (1996). «Прослеживаемые моноидальные категории». Математические труды Кембриджского философского общества . 3 : 447–468. DOI : 10.1017 / S0305004100074338 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)