Кан расширение

Расширения Кана - это универсальные конструкции в теории категорий , разделе математики . Они тесно связаны с сопряженными , но также связаны с пределами и концом . Они названы в честь Дэниела М. Кана , который построил определенные (Кан) расширения с использованием ограничений в 1960 году.

Раннее использование (так называемого теперь) расширения Кана с 1956 г. было в гомологической алгебре для вычисления производных функторов .

В разделе « Категории для рабочего математика» Сондерс Мак Лейн назвал раздел «Все концепции являются расширениями Kan» и продолжил писать, что

Понятие расширений Кана включает в себя все другие фундаментальные концепции теории категорий.

Подробное руководство по расширениям Kan можно найти в книге MCLehner «Все концепции являются расширениями Kan» .

Расширения Кана обобщают понятие расширения функции, определенной на подмножестве, до функции, определенной на всем множестве. Это определение, что неудивительно, находится на высоком уровне абстракции. Когда мы специализируемся на позициях , это становится относительно знакомым типом вопросов по оптимизации с ограничениями .

Определение [ править ]

Расширение Kan исходит из данных трех категорий

${\ Displaystyle \ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C}}$

и два функтора

${\ Displaystyle X: \ mathbf {A} \ to \ mathbf {C}, F: \ mathbf {A} \ to \ mathbf {B}}$,

и бывает двух разновидностей: «левое» расширение кан и «правое» расширение кан вдоль .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$

Правое расширение Кан означает нахождение пунктирной стрелки и естественного преобразования на следующей диаграмме:${\ displaystyle \ eta}$

(Естественное преобразование на диаграмме выше следует интерпретировать как стрелку к функтору от составного функтора .)${\ displaystyle X}$${\ displaystyle RF: \ mathbf {A} \ to \ mathbf {C}}$

Формально, правое расширение Кана по вместе${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$ состоит из функтора и естественного преобразования , коуниверсального по отношению к спецификации, в том смысле, что для любого функтора и естественного преобразования определено единственное естественное преобразование, которое укладывается в коммутативную диаграмму:${\ Displaystyle R: \ mathbf {B} \ to \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ eta: RF \ to X}$${\ Displaystyle M: ​​\ mathbf {B} \ to \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mu: MF \ to X}$${\ displaystyle \ delta: M \ to R}$

где это естественное преобразование с любым объектом из${\ displaystyle \ delta _ {F}}$${\ displaystyle \ delta _ {F} (a) = \ delta (Fa): MF (a) \ to RF (a)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ mathbf {A}.}$

Функтор R часто пишут .${\ displaystyle \ operatorname {Ran} _ {F} X}$

Как и другие универсальные конструкции в теории категорий , «левая» версия расширения Кана двойственна «правой» и получается заменой всех категорий их противоположностями .

Влияние этого на приведенное выше описание просто состоит в том, чтобы изменить направление естественных преобразований.

(Напомним , что естественное преобразование между функторами состоит иметь стрелу для каждого объекта из , удовлетворяющих свойство «естественность». Когда мы переходим к противоположным категориям, источника и цели меняются местами, в результате чего , чтобы действовать в направлении , противоположном) .${\displaystyle \tau }$${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$${\displaystyle \tau (a):F(a)\to G(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \tau (a)}$${\displaystyle \tau }$

Это приводит к альтернативному описанию: левое расширение Кана вместе${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$ состоит из функтора и естественного преобразования , универсальных по отношению к этой спецификации, в том смысле, что для любого другого функтора и естественного преобразования существует уникальное естественное преобразование, которое подходит в коммутативную диаграмму:${\displaystyle L:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \epsilon :X\to LF}$${\displaystyle M:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \alpha :X\to MF}$${\displaystyle \sigma :L\to M}$

где это естественное преобразование с любым объектом из .${\displaystyle \sigma _{F}}$${\displaystyle \sigma _{F}(a)=\sigma (Fa):LF(a)\to MF(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Функтор L часто пишут .${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$

Использование слова «the» (как в «левом расширении Кана») оправдано тем фактом, что, как и во всех универсальных конструкциях, если определенный объект существует, то он уникален с точностью до единственного изоморфизма. В данном случае это означает, что (для левых расширений Кана), если два левых расширения Кана вдоль и являются соответствующими преобразованиями, то существует единственный изоморфизм функторов такой, что вторая диаграмма выше коммутирует. То же самое для правых расширений Кана.${\displaystyle L,M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \epsilon ,\alpha }$${\displaystyle \sigma :L\to M}$

Свойства [ править ]

Расширения кан как (со) ограничения [ править ]

Предположим, что и - два функтора. Если мало и С является cocomplete, то существует левое расширение Кана из вдоль , определенного на каждый объект б из B по${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle (\operatorname {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)}$

где копредел берется по категории запятой , где - постоянный функтор. Двойственно, если A мало, а C полно, то существуют правые расширения Кана , и их можно вычислить как предел ${\displaystyle (F\downarrow \operatorname {const} _{b})}$${\displaystyle \operatorname {const} _{b}\colon \ast \to B,\ast \mapsto b}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle (\operatorname {Ran} _{F}X)(b)=\varprojlim _{Fa\leftarrow b}X(a)}$

над категорией запятой .${\displaystyle (\operatorname {const} _{b}\downarrow F)}$

Кан расширения как (со) заканчивается [ править ]

Предположим , что и два функторы , такие , что для всех объектов т и т ' из М и всех объектов гр из С , то copowers существуют в A . Тогда функтор Т имеет левый Kan расширение L вдоль K , которое таково , что для каждого объекта с из С ,${\displaystyle K:\mathbf {M} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle T:\mathbf {M} \to \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} (Km',c)\cdot Tm}$

${\displaystyle Lc=(\operatorname {Lan} _{K}T)c=\int ^{m}\mathbf {C} (Km,c)\cdot Tm}$

когда вышеуказанное coend существует для каждого объекта с из С .

Двойственно правые расширения Кана могут быть вычислены по конечной формуле

${\displaystyle (\operatorname {Ran} _{K}T)c=\int _{m}Tm^{\mathbf {C} (c,Km)}.}$

Ограничения как расширения Kan [ править ]

Предел функтора может быть выражен как расширение Кана${\displaystyle F:C\to D}$

${\displaystyle \lim F=\operatorname {Ran} _{E}F}$

где - уникальный функтор от до 𝟙 (категория с одним объектом и одной стрелкой, конечный объект в ). Аналогично можно выразить копредел${\displaystyle E}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Cat}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \operatorname {colim} F=\operatorname {Lan} _{E}F.}$

Смежные как расширения Кан [ править ]

Функтор обладает левым сопряженным элементом тогда и только тогда, когда существует правое расширение Кана вдоль функции и сохраняется посредством . В этом случае левый сопряженный элемент задается формулой, и это расширение Кана даже сохраняется любым функтором , т.е. является абсолютным расширением Кана.${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle \operatorname {Id} :C\to C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}\operatorname {Id} }$${\displaystyle C\to E}$

Двойственно правый сопряженный существует тогда и только тогда, когда существует левое расширение Кана тождества вдоль и сохраняется посредством .${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Приложения [ править ]

Codensity монады функтора является правым расширением Кан G по себе.${\displaystyle G:D\to C}$

Ссылки [ править ]

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра . Принстонский математический ряд. 19 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . Zbl  0075.24305 .
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Модельно-независимое доказательство формулы копредела для левых расширений Кана
• Расширение кан в nLab
• Расширение кан как ограничение: пример
• «Все концепции являются расширениями Кан»