Кинжал симметричной моноидальной категории

В математической области теории категорий , крестик симметричная моноидалъная категория является моноидальной категорией , которая также обладает структурой кинжала . Таким образом, эта категория снабжена не только тензорным произведением в теоретико-категориальном смысле, но и структурой кинжала , которая используется для описания унитарных морфизмов и самосопряженных морфизмов в : абстрактных аналогах тех, что находятся в FdHilb , категории конечномерные гильбертовы пространства . Этот тип категории был введен Питером Селинджером.${\ displaystyle \ langle \ mathbf {C}, \ otimes, I \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$^[1] в качестве промежуточной структуры между кинжалом категориями и компактными категориями кинжала , которые используются в категорных квантовой механике , областькотораянастоящее время также рассматривает кинжал симметричных моноидальные категорий при работе с бесконечномерным квантово - механическими понятиями.

Формальное определение [ править ]

Категория крестик симметричен моноидальная является симметричной моноидальной категорией , которая также имеет структуру кинжала , что для всех , и все , и в ,${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle g: C \ rightarrow D}$${\ displaystyle A, B, C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Ob(\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle (f\otimes g)^{\dagger }=f^{\dagger }\otimes g^{\dagger }:B\otimes D\rightarrow A\otimes C}$;
• ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}^{\dagger }=\alpha _{A,B,C}^{-1}:A\otimes (B\otimes C)\rightarrow (A\otimes B)\otimes C}$;
• ${\displaystyle \rho _{A}^{\dagger }=\rho _{A}^{-1}:A\rightarrow A\otimes I}$;
• ${\displaystyle \lambda _{A}^{\dagger }=\lambda _{A}^{-1}:A\rightarrow I\otimes A}$ и
• ${\displaystyle \sigma _{A,B}^{\dagger }=\sigma _{A,B}^{-1}:B\otimes A\rightarrow A\otimes B}$.

Здесь и - естественные изоморфизмы , образующие симметричную моноидальную структуру .${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$${\displaystyle \sigma }$

Примеры [ править ]

Следующие категории являются примерами симметричных моноидальных категорий кинжала:

• Категория Rel из множеств и отношений , где тензор дается продукт и где Кинжал отношение задается ее реляционной обратное.
• Категория FdHilb из конечномерных гильбертовых пространств является кинжалом симметричных моноидальной категорией , где тензор является обычным тензорным произведением гильбертовых пространств и где крестик из линейной карты задаются ее эрмитовым сопряженногом .

Кинжал-симметричная моноидальная категория, которая также является компактно замкнутой, называется кинжал-компактной категорией ; оба приведенных выше примера действительно компактны.

См. Также [ править ]

• Сильно ленточная категория

Ссылки [ править ]