Категория кинжала

В теории категорий , разделе математики , категория кинжала (также называемая инволютивной категорией или категорией с инволюцией ^{[1] [2]} ) - это категория, оснащенная определенной структурой, называемой кинжалом или инволюцией . Название категории кинжалов было придумано Питером Селинджером. ^[3]

Формальное определение [ править ]

Категории крестик категория оснащена инволютивном функтор , тождественный на объектах , где является противоположной категории .${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ dagger \ двоеточие {\ mathcal {C}} ^ {op} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {op}}$

В деталях это означает, что он ассоциируется с каждым морфизмом в своем присоединении , так что для всех и ,${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ dagger} \ двоеточие от B \ до A}$${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до C}$

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{A}^{\dagger }\colon A\rightarrow A}$
• ${\displaystyle (g\circ \!f)^{\dagger }=f^{\dagger }\!\circ g^{\dagger }\colon C\rightarrow A}$
• ${\displaystyle f^{\dagger \dagger }\!=f\colon A\rightarrow B}$

Обратите внимание, что в предыдущем определении термин «присоединенный» используется аналогично (и вдохновлен) линейно-алгебраическим смыслом, а не теоретико-категориальным смыслом.

Некоторые источники ^[4] определяет в категорию с инволюцией быть категорией крестика с дополнительным свойством , что множество морфизмов частично упорядоченное , а порядок морфизмов совместят с композицией морфизмов, которая подразумевает для морфизмов , , когда их источники и цели совместимы.${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

Примеры [ править ]

• Категория Rel из множеств и отношений обладает структурой кинжала: для заданного соотношения в Rel , соотношение является реляционным обратным из . В этом примере самосопряженный морфизм - это симметричное отношение .${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$${\displaystyle R}$
• Категория Коб из кобордизмы является кинжалом компактной категории , в частности , он обладает структурой кинжала.
• Категория Hilb из гильбертовых пространств также обладает структурой кинжала: Учитывая ограниченное линейное отображение , отображение только его сопряженный в обычном смысле этого слова.${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$
• Любой моноид с инволюцией - это категория кинжала с одним объектом. Фактически, каждый гом-набор эндоморфизмов в категории кинжала является не просто моноидом , а моноидом с инволюцией из-за кинжала.
• Дискретная категория тривиальная категория кинжала.
• Группоид (и , как следствие тривиального, A группы ) также имеет структуру кинжала с присоединенным морфизмом являющегося его обратным. В этом случае все морфизмы унитарны (определение ниже).

Замечательные морфизмы [ править ]

В категории кинжалов морфизм называется${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f}$

• унитарный, если${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• самосопряженный, если${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

Последнее возможно только при эндоморфизме . Термины унитарный и самосопряженный в предыдущем определении взяты из категории гильбертовых пространств, где морфизмы, удовлетворяющие этим свойствам, являются унитарными и самосопряженными в обычном смысле.${\displaystyle f\colon A\to A}$

См. Также [ править ]

• *-алгебра
• Кинжал симметричной моноидальной категории
• Кинжал компактной категории

Ссылки [ править ]

• Категория кинжала в nLab