Группоид

В математике , особенно в теории категорий и гомотопической теории , группоидом (реже Brandt Группоид или виртуальная группа ) обобщается понятие группы в нескольких эквивалентных способов. Группоид можно рассматривать как:

• Группа с частичной функцией, заменяющей бинарную операцию ;
• Категория, в которой каждый морфизм обратим. Подобную категорию можно рассматривать как дополненную унарной операцией , называемой обратной по аналогии с теорией групп . ^[1] Группоид, в котором есть только один объект, является обычной группой.

При наличии зависимой типизации категорию в целом можно рассматривать как типизированный моноид , и аналогично группоид можно рассматривать как просто типизированную группу. Морфизмы взять один от одного объекта к другому, и образуют зависимое семейство типов, таким образом морфизм может быть набран , , скажем. В таком случае композиция является общей функцией:, так что .${\ displaystyle g: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle h: B \ rightarrow C}$${\ Displaystyle \ circ: (B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow B) \ rightarrow A \ rightarrow C}$${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$

Особые случаи включают:

• Сетоиды : множества, которые имеют отношение эквивалентности ,
• G-наборы : наборы, оснащенные действием группы.${\displaystyle G}$

Группоиды часто используются для рассуждений о геометрических объектах, таких как многообразия . Генрих Брандт  ( 1927 ) ввел группоиды неявно через полугруппы Брандта . ^[2]

Определения [ править ]

Группоид представляет собой алгебраическую структуру , состоящую из непустого множества и бинарного частичной функции « » , определенной на .${\displaystyle (G,\ast )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle G}$

Алгебраический [ править ]

Группоид - это набор с унарной операцией и частичной функцией . Здесь * не является бинарной операцией, потому что он не обязательно определен для всех пар элементов . Точные условия, при которых он определяется, здесь не сформулированы и зависят от ситуации.${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle *}$

${\displaystyle \ast }$и ^-1 имеют следующие аксиоматические свойства: Для всех , и в ,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

1. Ассоциативность : еслииопределены, тоиопределены и равны. И наоборот, если определено одно изи, то то же самое относится и ки,и к=.${\displaystyle a*b}$${\displaystyle b*c}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle a*(b*c)}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle a*(b*c)}$${\displaystyle a*b}$${\displaystyle b*c}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle a*(b*c)}$
2. Инверсия :ивсегда определены.${\displaystyle a^{-1}*a}$${\displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. Идентичность : еслиопределено, тои. (Предыдущие две аксиомы уже показывают, что эти выражения определены и недвусмысленны.)${\displaystyle a*b}$${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$

Из этих аксиом следуют два простых и удобных свойства:

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$,
• Если определено, то . ^[3]${\displaystyle a*b}$${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

Теоретическая категория [ править ]

Группоид - это малая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом , т.е. обратимым. ^[1] Точнее, группоид G - это:

• Множество G ₀ из объектов ;
• Для каждой пары объектов x и y в G ₀ существует (возможно, пустое) множество G ( x , y ) морфизмов (или стрелок ) от x к y . Мы пишем f  : x → y, чтобы указать, что f является элементом G ( x , y ).
• Для каждого объекта х , назначенный элемент из G ( х , х );${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• Для каждой тройки объектов x , y и z - функция ;${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$
• Для каждой пары объектов x , y - функция ;${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$

удовлетворяющие, для любых f  : x → y , g  : y → z и h  : z → w :

• ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$и ;${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$
• ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$;
• ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$и .${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$

Если F является элементом G ( х , у ) , то х называется источником из F , записывается с ( е ), и у называется мишень из F , записывается т ( е ).

В более общем смысле можно рассматривать группоидный объект в произвольной категории, допускающей конечные послойные произведения.

Сравнение определений [ править ]

Как мы сейчас покажем, алгебраическое и теоретико-категориальное определения эквивалентны. Для группоида в теоретико-категориальном смысле пусть G - дизъюнктное объединение всех множеств G ( x , y ) (то есть множеств морфизмов из x в y ). Тогда и станут частичными операциями на G и фактически будут определены всюду. Мы определяем ∗ как быть и ⁻¹ как быть , что дает группоид в алгебраическом смысле. Явная ссылка на G ₀ (и, следовательно, на ) может быть опущена.${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {id} }$

Наоборот, для группоида G в алгебраическом смысле определим отношение эквивалентности на его элементах тогда и только тогда, когда a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Пусть G ₀ множество классов эквивалентности , то есть . Обозначим a ∗ a ⁻¹ через if with .${\displaystyle \sim }$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$${\displaystyle 1_{x}}$${\displaystyle a\in x}$${\displaystyle x\in G_{0}}$

Теперь определим как множество всех элементов F такая , что существует. Дано и их состав определяется как . Чтобы увидеть, что это хорошо определено, обратите внимание, что поскольку и существует, то и существует . Тогда тождественный морфизм на x есть , а теоретико-категориальный обратный к f равен f ⁻¹ .${\displaystyle G(x,y)}$${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$${\displaystyle f\in G(x,y)}$${\displaystyle g\in G(y,z),}$${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$${\displaystyle 1_{x}}$

Множества в определениях выше могут быть заменены классами , как это обычно бывает в теории категорий.

Группы вершин [ править ]

Принимая во внимание группоидом G , то группы вершин или группы изотропии или групп объектов в G являются подмножества вида G ( х , х ), где х представляет собой любой объект G . Из приведенных выше аксиом легко следует, что это действительно группы, поскольку каждая пара элементов составна, а обратные элементы находятся в одной группе вершин.

Категория группоидов [ править ]

Подгруппоид является подкатегорию , что само по себе является группоидом. Группоидом морфизм просто функтор между двумя (категория теоретико-группоидах). Категория, объекты которой являются группоидами, а морфизмы - группоидными морфизмами, называется категорией группоидов или категорией группоидов , обозначаемой Grpd .

Полезно, что эта категория, как и категория малых категорий, является декартовой замкнутой . То есть мы можем построить для любых группоидов группоид , объектами которого являются морфизмы, а стрелки - естественные эквивалентности морфизмов. Таким образом, если являются просто группами, то такие стрелки являются сопряжениями морфизмов. Основной результат состоит в том, что для любых группоидов существует естественная биекция${\displaystyle H,K}$${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$${\displaystyle H\to K}$${\displaystyle H,K}$${\displaystyle G,H,K}$

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Этот результат представляет интерес, даже если все группоиды являются просто группами.${\displaystyle G,H,K}$

Волокна и покрытия [ править ]

Представляют интерес частные виды морфизмов группоидов. Морфизмом группоидов называется расслоением , если для каждого объекта из и каждого морфизма из начиная существует морфизм из начиная с таким образом, что . Расслоение называется накрывающим морфизмом или накрытием группоидов, если в дальнейшем оно единственно. Накрывающие морфизмы группоидов особенно полезны, потому что их можно использовать для моделирования накрывающих карт пространств. ^[4]${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p(e)=b}$${\displaystyle e}$

Также верно, что категория накрывающих морфизмов данного группоида эквивалентна категории действий группоида на множествах.${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Примеры [ править ]

Топология [ править ]

Учитывая топологическое пространство , пусть будет набор . Морфизмы от точки до точки являются классами эквивалентности из непрерывных путей от до , с двумя путями быть эквивалентными , если они гомотопны . Два таких морфизма состоят из следующих: сначала первого пути, затем второго; гомотопическая эквивалентность гарантирует ассоциативность этой композиции . Это группоид называется фундаментальным группоидом из , обозначается (или иногда ). ^[5] Обычная фундаментальная группа тогда является группой вершин для точки${\displaystyle X}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle x}$. Для линейно связного пространства фундаментальный группоид и фундаментальная группа совпадают, и операция композиции определена для всех пар классов эквивалентности.

Важным расширением этой идеи является рассмотрение фундаментального группоида, где - выбранный набор «базовых точек». Здесь рассматриваются только пути, конечные точки которых принадлежат . является субгруппоидом . Набор может быть выбран в зависимости от геометрии ситуации.${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle A}$

Отношение эквивалентности [ править ]

Если - множество с отношением эквивалентности, обозначенным инфиксом , то группоид, "представляющий" это отношение эквивалентности, может быть сформирован следующим образом:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$

• Объектами группоида являются элементы ;${\displaystyle X}$
• Для любых двух элементов и in существует единственный морфизм из в, если и только если .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\sim y}$

Групповое действие [ править ]

Если группа действует на множестве , то мы можем сформировать группоид действий (или группоид преобразований ), представляющий это групповое действие следующим образом:${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

• Объекты являются элементами ;${\displaystyle X}$
• Для любых двух элементов , и в , то морфизмах от до соответствуют элементам из таких , что ;${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gx=y}$
• Композиция морфизмов интерпретирует бинарную операцию из .${\displaystyle G}$

Более явно, группоид действия небольшая категория с и с источником и целевыми картами и . Часто обозначается (или ). Умножение (или композиция) в группоиде определяется при условии .${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$${\displaystyle s(g,x)=x}$${\displaystyle t(g,x)=gx}$${\displaystyle G\ltimes X}$${\displaystyle X\rtimes G}$${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$${\displaystyle y=gx}$

Для ин , группа вершин состоит из тех , с , что только стационарной подгруппы в течение данного действия (поэтому вершинные группы также называют группу изотропии).${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (g,x)}$${\displaystyle gx=x}$${\displaystyle x}$

Другой способ описания -множеств - категория функторов , где - это группоид (категория) с одним элементом, изоморфный группе . Действительно, каждый функтор из этой категории определяет набор и для каждого в (т.е. для любого морфизма в ) индуцирует взаимно однозначное соответствие  : . Категориальная структура функтора уверяет нас, что определяет a- действие на множестве . (Единственный) представимый функтор  : → является представлением Кэли функции . Фактически, этот функтор изоморфен и поэтому посылает${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle \mathrm {Set} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$к набору , который , по определению, «множество» и морфизм из (т.е. элемента из ) до перестановки множества . Мы выводим из Йонеды вложения , что группа изоморфна группе , в подгруппе из группы перестановок из .${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$${\displaystyle G}$

Конечный набор [ править ]

Рассмотрим конечное множество , мы можем формировать действия группы , действующие на принимая каждое число его отрицательных, так и . Фактор-группоид - это набор классов эквивалентности из этого группового действия , на котором действует групповое действие .${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -2\mapsto 2}$${\displaystyle 1\mapsto -1}$${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$${\displaystyle [0]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Факторное разнообразие [ править ]

On , любая конечная группа, отображающая, чтобы дать групповое действие на (так как это группа автоморфизмов). Тогда может быть форм-группоид , который имеет одну точку со стабилизатором в начале координат. Подобные примеры составляют основу теории орбифолдов . Другое широко изучаемое семейство орбифолдов - это взвешенные проективные пространства и их подпространства, такие как орбифолды Калаби-Яу .${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL(n)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

Волокнистый продукт группоидов [ править ]

Дана диаграмма группоидов с группоидными морфизмами

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

где и мы можем сформировать группоид , объекты которой тройки , где , и в . Морфизмы можно определить как пару морфизмов, где и такие, что для троек существует коммутативная диаграмма в of , а . ^[6]${\displaystyle f:X\to Z}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle X\times _{Z}Y}$${\displaystyle (x,\phi ,y)}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha :x\to x'}$${\displaystyle \beta :y\to y'}$${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$${\displaystyle \phi ,\phi '}$

Гомологическая алгебра [ править ]

Двухчленный комплекс

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

объектов в конкретной абелевой категории можно использовать для формирования группоида. Он имеет в качестве объектов набор и стрелки, где исходный морфизм - это просто проекция, а целевой морфизм - это добавление проекции на композицию и проекцию на . То есть, если у нас есть${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}}$

Конечно, если абелева категория - это категория когерентных пучков на схеме, то эту конструкцию можно использовать для формирования предпучка группоидов.

Пазлы [ править ]

Хотя головоломки, такие как кубик Рубика, можно смоделировать с помощью теории групп (см . Группу «Кубик Рубика» ), некоторые головоломки лучше моделировать как группоиды. ^[7]

Преобразования пятнадцати головоломок образуют группоид (не группу, так как не все ходы могут быть составлены). ^{[8] [9] [10]} Этот группоид действует на конфигурации.

Матьё группоид [ править ]

Группоидом Матьё является группоидом введенный Конвей , действующее на 13 пунктов, что элементы фиксации форме точки копию группы Матье М ₁₂ .

Отношение к группам [ править ]

Если у группоида только один объект, то множество его морфизмов образует группу . Используя алгебраическое определение, такой группоид буквально представляет собой группу. ^[11] Многие концепции теории групп обобщаются на группоиды, причем понятие функтора заменяет понятие гомоморфизма групп .

Если является объектом группоида , то набор всех морфизмов от до образует группу (называемую группой вершин, определенной выше). Если существует морфизм от до , то группы и являются изоморфными , с изоморфизмом , заданным отображением .${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle G(y)}$ ${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

Каждый связный группоид - то есть тот, в котором любые два объекта связаны по крайней мере одним морфизмом - изоморфен группоиду действия (как определено выше) . По связанности, под действием будет только одна орбита . Если группоид несвязный , то он изоморфен несвязному объединению группоидов указанного выше типа (возможно, с разными группами и наборами для каждой компоненты связности).${\displaystyle (G,X)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

Обратите внимание, что описанный выше изоморфизм не единственен и естественного выбора не существует. Выбор такого изоморфизма для связного группоида по существу сводится к выбору одного объекта , группового изоморфизма от до и для каждого другого морфизма от до .${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle G(x_{0})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$

В терминах теории категорий каждая связная компонента группоида эквивалентна (но не изоморфна ) группоиду с единственным объектом, то есть одной группой. Таким образом, любой группоид эквивалентен мультимножеству несвязанных групп. Другими словами, для эквивалентности вместо изоморфизма нужно указывать не множества , а только группы. Например,${\displaystyle X}$${\displaystyle G.}$

• Фундаментальный Группоид эквивалентно коллекции основных групп каждого путь подключенного компонент из , но изоморфизм требует указания множества точек в каждом компоненте;${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Набор с отношением эквивалентности эквивалентен (как группоид) одной копии тривиальной группы для каждого класса эквивалентности , но изоморфизм требует указания, что такое каждый класс эквивалентности:${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$
• Набор, снабженный действием группы , эквивалентен (как группоид) одной копии для каждой орбиты действия, но изоморфизм требует указания того, что представляет собой каждая орбита.${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Распад группоида в простой набор групп теряет некоторую информацию, даже с теоретико-категориальной точки зрения, потому что это неестественно . Таким образом, когда группоиды возникают в терминах других структур, как в приведенных выше примерах, может быть полезно поддерживать полный группоид. В противном случае нужно выбрать способ просмотра каждого с точки зрения одной группы, и этот выбор может быть произвольным. В нашем примере из топологии вам нужно будет сделать последовательный выбор путей (или классов эквивалентности путей) от каждой точки до каждой точки в одном и том же компоненте с линейной связью.${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

В качестве более наглядного примера классификация группоидов с одним эндоморфизмом не сводится к чисто теоретическим соображениям. Это аналогично тому, что классификация векторных пространств с одним эндоморфизмом нетривиальна.

Морфизмы группоидов бывают разных видов, чем морфизмы групп: например, у нас есть расслоения , накрывающие морфизмы , универсальные морфизмы и фактор-морфизмы . Таким образом, подгруппа группы порождает действие группы на множестве смежных классов по in и, следовательно, покрывающий морфизм из, скажем, в , где - группоид с группами вершин, изоморфными группе . Таким образом, презентации группы могут быть "подняты" до презентаций группоида , и это полезный способ получения информации о презентациях подгруппы.${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$. Для получения дополнительной информации см. Книги Хиггинса и Брауна в Справочнике.

Свойства категории Grpd [ править ]

• Grpd является одновременно полным и неполным
• Grpd - декартова закрытая категория

Отношение к коту [ править ]

У включения есть как левый, так и правый сопряженный:${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

Здесь обозначает локализацию категории, которая инвертирует каждый морфизм, и обозначает подкатегорию всех изоморфизмов.${\displaystyle C[C^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$

Связь с sSet [ править ]

Нерва функтор встраивает Grpd как полная подкатегория категории симплициальных множеств. Нерв группоида всегда имеет комплекс Кана.${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$

Нерв имеет левый сопряженный

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Здесь обозначает фундаментальный группоид симплициального множества X.${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Группоиды в Grpd [ править ]

Существует дополнительная структура, которая может быть получена из группоидов, внутренних по отношению к категории группоидов, двойных группоидов . ^{[12] [13]} Поскольку Grpd является 2-категорией, эти объекты образуют 2-категорию вместо 1-категории, поскольку существует дополнительная структура. По сути, это группоиды с функторами${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

и вложение, заданное тождественным функтором

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Один из способов представить себе эти 2-группоиды - они содержат объекты, морфизмы и квадраты, которые могут составлять вместе по вертикали и горизонтали. Например, с учетом квадратов

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

с тем же морфизмом их можно соединить по вертикали, образуя диаграмму${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

который можно преобразовать в другой квадрат, составив вертикальные стрелки. Аналогичный закон композиции существует и для горизонтальных прикреплений квадратов.

Группоиды Ли и алгеброиды Ли [ править ]

При изучении геометрических объектов возникающие группоиды часто несут некоторую дифференцируемую структуру , превращающую их в группоиды Ли . Они могут быть изучены с точки зрения алгеброидов Ли , по аналогии с соотношением между группами Ли и алгебр Ли .

См. Также [ править ]

• ∞-группоид
• 2-группа
• Теория гомотопического типа
• Обратная категория
• группоидная алгебра (не путать с алгебраическим группоидом )
• R-алгеброид

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брандт, Н (1927), "Убер де Verallgemeinerung сделайте Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen , 96 (1): 360-366, DOI : 10.1007 / BF01209171 , S2CID  119597988
• Браун, Рональд, 1987, " От групп к группоидам: краткий обзор ", Bull. Лондонская математика. Soc. 19 : 113-34. Рассматривается история группоидов до 1987 г., начиная с работ Брандта о квадратичных формах. В загружаемой версии обновлено множество ссылок.
• -, 2006. Топология и группоиды. Книжный цех. Пересмотренное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды вводятся в контексте их топологического применения.
• -, Теория многомерных групп Объясняет, как концепция группоидов привела к многомерным гомотопическим группоидам, имеющим приложения в теории гомотопий и в когомологиях групп . Много ссылок.
• Дикс, Уоррен; Вентура, Энрик (1996), Группа, фиксированная семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы , Математические обзоры и монографии, 195 , Книжный магазин AMS, ISBN 978-0-8218-0564-0
• Докучаев, М .; Exel, R .; Пиччоне, П. (2000). "Частные представления и частичные групповые алгебры". Журнал алгебры . Эльзевир. 226 : 505–532. arXiv : math / 9903129 . DOI : 10.1006 / jabr.1999.8204 . ISSN  0021-8693 . S2CID  14622598 .
• Ф. Борсё, Г. Джанелидзе, 2001, теории Галуа. Cambridge Univ. Нажмите. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа .
• Каннас да Силва, А. , и А. Вайнштейн , геометрические модели для некоммутативных алгебр. Особенно Часть VI.
• Голубицкий М. , Ян Стюарт, 2006, " Нелинейная динамика сетей: формализм группоидов ", Бюл. Амер. Математика. Soc. 43 : 305-64
• "Группоид" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хиггинс, П. Дж., "Фундаментальный группоид графа групп ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145-149.
• Хиггинс П.Дж. и Тейлор Дж. "Фундаментальный группоид и гомотопически скрещенный комплекс пространства орбит " в теории категорий (Гуммерсбах, 1981), конспект лекций по математике, том 962. Springer, Berlin (1982), 115 -122.
• Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Заметки Ван Ностранда по математике. Переиздано в Перепечатках в Теории и применениях категорий , № 7 (2005), стр. 1–195; свободно загружаемый . Существенное введение в теорию категорий с особым упором на группоиды. Представлены приложения группоидов в теории групп, например, для обобщения теоремы Грушко , и в топологии, например, в фундаментальном группоиде .
• Mackenzie, KCH, 2005. Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли. Cambridge Univ. Нажмите.
• Вайнштейн, Алан, « Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии - обзор некоторых примеров». Также доступно в Postscript. , Уведомления AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.
• Вайнштейн, Алан, " Геометрия импульса " (2002)
• RT Zivaljevic. «Группоиды в комбинаторике - приложения теории локальных симметрий». В алгебраической и геометрической комбинаторике , том 423 Contemp. Матем ., 305–324. Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд (2006)
• фундаментальный группоид в nLab
• ядро в nLab