Полугруппа Брандта

В математике полугруппы Брандта являются полностью 0-простыми инверсными полугруппами . Другими словами, это полугруппы без собственных идеалов, которые также являются инверсными полугруппами. Строятся они так же, как полностью 0-простые полугруппы:

Пусть G - группа и непустые множества. Определите матрицу измерения с записями в ${\ displaystyle I, J}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle | I | \ times | J |}$ ${\ displaystyle G ^ {0} = G \ cup \ {0 \}.}$

Затем можно показать, что каждая 0-простая полугруппа имеет форму с операцией . ${\ Displaystyle S = (I \ раз G ^ {0} \ раз J)}$ ${\ Displaystyle (я, а, j) * (к, b, n) = (я, ap_ {jk} b, n)}$

Поскольку полугруппы Брандта также являются инверсными полугруппами, конструкция более специализирована и фактически I = J (Howie 1995). Таким образом, полугруппа Брандта имеет вид с операцией . ${\ displaystyle S = (I \ times G ^ {0} \ times I)}$ ${\ Displaystyle (я, а, j) * (к, b, n) = (я, ap_ {jk} b, n)}$

Кроме того, матрица является диагональной только единичным элементом х групп G в ее диагонали. ${\ displaystyle P}$

Замечания [ править ]

1) идемпотентами имеют вид ( я , е , я ) , где е является единицей G .

2) Существуют эквивалентные способы определения полугруппы Брандта. Вот еще один:

ac = bc ≠ 0 или ca = cb ≠ 0 ⇒ a = b

ab ≠ 0 и bc ≠ 0 ⇒ abc ≠ 0

Если a ≠ 0, то существуют единственные x , y , z, для которых xa = a , ay = a , za = y .

Для всех идемпотентов e и f, отличных от нуля, eSf ≠ 0

См. Также [ править ]

Специальные классы полугрупп

Ссылки [ править ]

Хауи, Джон М. (1995), Введение в теорию полугрупп , Oxford: Oxford Science Publication.

Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .