Кинжал компактной категории

Ведущий раздел этой статьи может неадекватно резюмировать ее содержание . Чтобы соответствовать рекомендациям Википедии по разделу лидов , рассмотрите возможность изменения лида, чтобы обеспечить доступный обзор ключевых моментов статьи таким образом, чтобы он мог стоять сам по себе как краткая версия статьи. ( Январь 2016 г. )

В теории категорий раздел математики , кинжал-компактные категории (или кинжал-компактные замкнутые категории ) впервые появился в 1989 году в работе Серджио Допличера и Джона Э. Робертса по реконструкции компактных топологических групп из их категории конечномерных непрерывных унитарных представления (т. е. таннакиевы категории ). ^[1] Они также появились в работах Джона Баэза и Джеймса Долана как пример полуострогих k -тупно моноидальных n -категорий , которые описывают общиетопологической квантовой теории поля , ^[2] для п = 1 и к = 3. Они являются фундаментальной структурой в Samson Abramsky и Боб Коеке «ы категорных квантовой механики . ^{[3] [4] [5]}

Обзор [ править ]

Компактные категории кинжала могут использоваться для выражения и проверки некоторых фундаментальных протоколов квантовой информации , а именно: телепортации , телепортации логических ворот и обмена запутанностью , а также стандартных понятий, таких как унитарность, внутренний продукт, след, двойственность Чоя-Ямиолковского , полная положительность , состояния Белла. и многие другие понятия уловлены языком компактных категорий кинжала. ^[3] Все это следует из следующей ниже теоремы о полноте. Категориальная квантовая механикаиспользует категории кинжала компактности как фоновую структуру, относительно которой могут быть абстрактно определены другие квантово-механические понятия, такие как квантовые наблюдаемые и их дополнительность. Это составляет основу высокоуровневого подхода к квантовой обработке информации .

Формальное определение [ править ]

Крестик компактная категорией является крестик симметричной моноидальной категорией , которая также компактная замкнутым вместе с отношением , чтобы связать вместе структуру кинжала компактной конструкции. В частности, крестик используется для подключения устройства к коединицам, так что для всех ин , следующей коммутирует диаграмму:${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Подводя итог всем этим моментам:

• Категория называется замкнутой, если у нее есть внутренний гом-функтор ; то есть, если гом-множество морфизмов между двумя объектами категории является объектом самой категории (а не множества ).
• Категория является моноидальной, если она снабжена ассоциативным бифунктором, который является ассоциативным, естественным и имеет левые и правые тождества, подчиняющиеся определенным условиям когерентности .${\ Displaystyle \ mathbf {C} \ otimes \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C}}$
• Моноидальная категория называется симметричной моноидальной , если для каждой пары A , B объектов в C существует изоморфизм , естественный как для A, так и для B , и, опять же, подчиняется определенным условиям когерентности (подробности см. В симметричной моноидальной категории ).${\ displaystyle \ sigma _ {A, B}: A \ otimes B \ simeq B \ otimes A}$
• Моноидальная категория компактно замкнута , если у каждого объекта есть двойственный объект . Категории с двойными объектами снабжены двумя морфизмами, единицей и числом , которые удовлетворяют определенным условиям когерентности или рывка .${\ displaystyle A \ in \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {A}: I \ to A ^ {*} \ otimes A}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {A}: A \ otimes A ^ {*} \ to I}$
• Категория называется кинжальной категорией, если она оснащена инволютивным функтором, который является тождественным для объектов, но отображает морфизмы на их сопряженные объекты.${\ Displaystyle \ кинжал \ двоеточие \ mathbf {C} ^ {op} \ rightarrow \ mathbf {C}}$
• Моноидальная категория называется кинжал-симметричной, если это кинжал-категория, симметрична и имеет условия когерентности, которые делают различные функторы естественными.

Тогда компактная категория кинжала является категорией, которая является каждой из вышеперечисленных, и, кроме того, имеет условие, чтобы связать структуру кинжала с компактной структурой. Это делается путем связывания юнита с графом через кинжал:

${\displaystyle \sigma _{A,A^{*}}\circ \varepsilon _{A}^{\dagger }=\eta _{A}}$

показано на схеме коммутации выше. В категории FdHilb конечномерных гильбертовых пространств это последнее условие можно понимать как определение кинжала (эрмитово сопряженного) как транспонирования комплексно сопряженного.

Примеры [ править ]

Следующие категории являются кинжалом компактными.

• Категория FdHilb из конечномерных гильбертовых пространств и линейных отображений . Морфизмы - это линейные операторы между гильбертовыми пространствами. Произведение - это обычное тензорное произведение , а кинжал - эрмитово сопряжение .
• Категория Rel из множеств и отношений . Конечно, это декартово произведение . Кинжал здесь как раз наоборот .
• Категория конечно порожденных проективных модулей над коммутативным кольцом . Кинжал здесь просто транспонированная матрица .
• Категория nCob из кобордизмы . Здесь n-мерные кобордизмы - это морфизмы, несвязное объединение - это тензор, а обращение объектов (замкнутых многообразий) - это кинжал. Топологическая квантовая теория поля может быть определена как функтор из nCob в FdHilb . ^[6]
• Категория Span ( C ) промежутков для любой категории C с конечными пределами .

Бесконечномерные гильбертовые пространства не являются кинжал-компактными и описываются кинжал-симметричными моноидальными категориями .

Структурные теоремы [ править ]

Селинджер показал, что компактные категории кинжала допускают диаграммный язык в стиле Джояла-Стрита ^[7], и доказал, что компактные категории кинжала полны относительно конечномерных гильбертовых пространств ^{[8] [9],} т. Е. Выполняется уравнение на языке компактных категорий кинжала. тогда и только тогда, когда его можно вывести в конкретной категории конечномерных гильбертовых пространств и линейных отображений. Аналогичной полноты для Rel или nCob нет .

Этот результат о полноте означает, что различные теоремы из гильбертовых пространств распространяются на эту категорию. Например, из теоремы о запрете клонирования следует, что универсального морфизма клонирования не существует. ^[10] Полнота также подразумевает гораздо более приземленные особенности: кинжальные компактные категории могут иметь основу точно так же, как гильбертово пространство может иметь основу. Операторы можно разложить по базису; операторы могут иметь собственные векторы и т . д. Это рассматривается в следующем разделе.

Основа [ править ]

Из теоремы полноты следует, что основные понятия из гильбертовых пространств переносятся на любую кинжал компактную категорию. Однако типичный используемый язык меняется. Понятие базиса дается в терминах коалгебры . Для объекта A из категории компактных кинжалов базисом является объект комоноид . Эти две операции являются копирование или коумножение δ: → ⊗ морфизм, кокоммутативна и coassociative, а также удаление операции или коединица морфизм ε: → Я . Вместе они подчиняются пяти аксиомам:${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$^[11]

Комультипликативность:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \varepsilon )\circ \delta =1_{A}=(\varepsilon \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Коассоциативность:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \delta )\circ \delta =(\delta \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Кокоммутативность:

${\displaystyle \sigma _{A,A}\circ \delta =\delta }$

Изометрия:

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ \delta =1_{A}}$

Закон Фробениуса :

${\displaystyle (\delta ^{\dagger }\otimes 1_{A})\circ (1_{A}\otimes \delta )=\delta \circ \delta ^{\dagger }}$

Чтобы увидеть, что эти отношения определяют базис векторного пространства в традиционном смысле, запишите коумножение и счетчик, используя форму бра-кет , и понимая, что теперь это линейные операторы, действующие на векторы в гильбертовом пространстве H :${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta :H&\to H\otimes H\\|j\rangle &\mapsto |j\rangle \otimes |j\rangle =|jj\rangle \\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon :H&\to \mathbb {C} \\|j\rangle &\mapsto 1\\\end{aligned}}}$

Единственные векторы, которые могут удовлетворять указанным выше пяти аксиомам, должны быть ортогональны друг другу; тогда счетчик однозначно определяет основу. Наводящие имена копирования и удаление для Коумножения и коединицы операторов приходят от мысли , что нет-нет клонировании теоремы и не-удаление теоремы состояния , что только векторы , которые можно скопировать или удалить ортогональные векторы базиса.${\displaystyle |j\rangle }$

Общие результаты [ править ]

Учитывая приведенное выше определение базиса, можно сформулировать ряд результатов для гильбертовых пространств для компактных кинжальных категорий. Мы перечисляем некоторые из них ниже, взятые из ^[11], если не указано иное.

• Базис также может пониматься как соответствующий наблюдаемому в том смысле , что данные наблюдаемые факторы на (ортогональных) базисных векторах. То есть, наблюдаемый представляются объект А вместе с двумя морфизмами , которые определяют базис: .${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$
• Собственное состояние из наблюдаемой является любой объект , для которого${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \delta \circ \psi =\psi \otimes \psi }$

Собственные состояния ортогональны друг другу. ^{[ требуется разъяснение ]}

• Объект является комплементарной к наблюдаемой , если ^{[ разъяснение необходимости ]}${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ ({\overline {\psi }}\otimes \psi )=\varepsilon ^{\dagger }}$

(В квантовой механике вектор состояния считается дополнительным к наблюдаемому, если любой результат измерения равновероятен. А именно, собственное состояние спина S _x равновероятно при измерении в базисе S _z , или собственные состояния импульса равновероятны при измерении в базисе S _z. позиционная основа.)${\displaystyle \psi }$

• Две наблюдаемые и дополняют друг друга, если${\displaystyle (A,\delta _{X},\varepsilon _{X})}$${\displaystyle (A,\delta _{Z},\varepsilon _{Z})}$

${\displaystyle \delta _{Z}^{\dagger }\circ \delta _{X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• Дополнительные объекты порождают унитарные преобразования . То есть,

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ (\psi \otimes 1_{A})}$

унитарен тогда и только тогда, когда он является дополнительным к наблюдаемому${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Ссылки [ править ]

• Категория Dagger-compact в nLab