Полностью положительная карта

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники:  «Совершенно позитивная карта»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике положительное отображение является отображением между С * -алгебрами , который посылает положительные элементы положительных элементов. Полностью положительное отображение - это карта, которая удовлетворяет более сильному и надежному условию.

Определение [ править ]

Пусть и - С * -алгебры . Линейное отображение называется положительным отображением , если карты положительных элементов в положительные элементы: .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ phi: от A \ до B}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle а \ geq 0 \ подразумевает \ фи (а) \ geq 0}$

Любая линейная карта индуцирует другую карту${\ displaystyle \ phi: от A \ до B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

естественным образом. Если отождествляется с С * -алгеброй из -матрицах с записями в , затем действует как${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$${\displaystyle A^{k\times k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

Мы говорим, что это k-положительное отображение, если это положительное отображение, и называется полностью положительным, если k-положительное отображение для всех k.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

Свойства [ править ]

• Положительные отображения монотонны, т.е. для всех самосопряженных элементов .${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• Поскольку каждое положительное отображение автоматически непрерывно относительно C * -нормы и его операторная норма равна . Аналогичное утверждение с приближенными единицами справедливо и для неунитальных алгебр.${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• Множество положительных функционалов представляет собой двойственный конус конуса положительных элементов .${\displaystyle \to \mathbb {C} }$${\displaystyle A}$

Примеры [ править ]

• Всякий * -гомоморфизм вполне положителен.
• Для любого линейного оператора между гильбертовыми пространствами отображение полностью положительно. Теорема Стайнспринга утверждает, что все вполне положительные отображения являются композициями * -гомоморфизмов и этих специальных отображений.${\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• Каждый положительный функционал (в частности, каждое состояние ) автоматически полностью положителен.${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• Каждая положительная карта полностью положительна.${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• Транспонирование матриц представляет собой стандартный пример положительных карт , которая не будут 2-положительными. Обозначим это отображение через T на . Ниже приводится положительная матрица в :${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$

Изображение этой матрицы при является${\displaystyle I_{2}\otimes T}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$

что явно не положительно, имея определитель -1. Более того, собственные значения этой матрицы равны 1,1,1 и -1.

Между прочим, отображение Φ называется копоположительным, если композиция Φ T положительна. Сама карта транспозиции является копозитивной картой.${\displaystyle \circ }$

См. Также [ править ]

• Теорема Чоя о вполне положительных отображениях