Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: эта страница посвящена операторам положительного гильбертова пространства. Дискуссии о положительных операторах в упорядоченных банаховых пространствах, вероятно, здесь неуместны. ( Октябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , особенно функциональный анализ , в самосопряженном (или эрмитово ) элемент из C * -алгебра называется плюсовой , если его спектр состоит из неотрицательных действительных чисел. Кроме того, элемент из С * -алгебра положительна , если и только если существует какая - то в таких , что . Положительный элемент самосопряжен и, следовательно, нормален .
Если - линейный ограниченный оператор в комплексном гильбертовом пространстве , то это понятие совпадает с условием, которое неотрицательно для каждого вектора из . Обратите внимание, что это реально для каждого in тогда и только тогда, когда является самосопряженным. Следовательно, положительный оператор в гильбертовом пространстве всегда самосопряженный (а самосопряженный всюду определенный оператор в гильбертовом пространстве всегда ограничен в силу теоремы Хеллингера-Теплица ).
Множество положительных элементов C * -алгебры образует выпуклый конус .
Положительные и положительно определенные операторы [ править ]
Ограниченный линейный оператор на внутреннем пространстве произведения называется положительным (или положительно полуопределенным ), если для некоторого ограниченного оператора на , и называется положительно определенным, если он также неособен .
(I) Следующие условия положительной полуопределенности ограниченного оператора на эквивалентны:
- для некоторого ограниченного оператора на ,
- для некоторого самосопряженного оператора на ,
- .
(II) Следующие условия положительной определенности ограниченного оператора на эквивалентны:
- для некоторого неособого ограниченного оператора на ,
- для некоторого неособого самосопряженного оператора на ,
- в .
(III) Комплексная матрица представляет собой положительный (полу) определенный оператор тогда и только тогда, когда является эрмитовым (или самосопряженным) и , и являются (строго) положительными действительными числами.
Этот раздел может содержать материалы, не относящиеся или недостаточно связанные с его тематикой . ( Октябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Примеры [ править ]
- Следующая матрица не является положительно определенной, поскольку . Однако, неотрицательны так , и не отрицательно.
Частичное упорядочивание с использованием положительности [ править ]
Определив
для самосопряженных элементов в C * -алгебре получается частичный порядок на множестве самосопряженных элементов в . Обратите внимание, что согласно этому определению, мы имеем тогда и только тогда, когда положительно, что удобно.
Этот частичный порядок аналогичен естественному порядку действительных чисел, но лишь до некоторой степени. Например, он учитывает умножение на положительные числа и сложение самосопряженных элементов, но не обязательно для положительных элементов с и .
Ссылки [ править ]
- Конвей, Джон (1990), курс функционального анализа , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5