В математике , теорема Чоя на вполне положительные картах является результатом , который классифицирует вполне положительные отображения между конечномерен (матрицей) C * -алгебрами . Бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя известно как теорема Белавкина « Радон – Никодим » для вполне положительных отображений.
Заявление
Теорема Цоя. Позволять- линейная карта. Следующие варианты эквивалентны:
- (я) Φ является п -положительным.
- (ii) Матрица с операторными элементами
- положительно, где - матрица с единицей в ij -м элементе и нулями в другом месте. (Матрица С Φ иногда называют матрицей Чой из Ф .)
- (iii) Φ вполне положительно.
Доказательство
(i) влечет (ii)
Заметим, что если
тогда E = E * и E 2 = nE , поэтому E = n −1 EE *, что положительно. Следовательно, C Φ = ( I n ⊗ Φ) ( E ) положительно в силу n- положительности Φ.
(iii) следует (i)
Это выполняется тривиально.
(ii) влечет (iii)
В основном это связано с поиском различных способов взглянуть на C нм × нм :
Пусть разложение C Φ по собственным векторам имеет вид
где векторы лежат в C нм . По предположению каждое собственное значение неотрицательна, поэтому мы можем поглотить собственные значения в собственных векторах и переопределить чтобы
Векторное пространство C nm можно рассматривать как прямую сумму совместимо с вышеуказанной идентификацией и стандартный базис C n .
Если P k ∈ C m × nm является проекцией на k -ю копию C m , то P k * ∈ C nm × m является включением C m как k -го слагаемого прямой суммы и
Теперь, если операторы V i ∈ C m × n определены на k -м стандартном базисном векторе e k группы C n формулой
тогда
Продолжение линейности дает нам
для любого A ∈ C n × n . Любая карта такой формы явно полностью положительна: карта полностью положительна, а сумма (по ) вполне положительных операторов снова полностью положительна. Таким образом полностью положительный, желаемый результат.
Вышеизложенное, по сути, является оригинальным доказательством Чоя. Известны и альтернативные доказательства.
Последствия
Операторы Крауса
В контексте квантовой теории информации операторы { V i } называются операторами Крауса (в честь Карла Крауса ) функции Φ. Обратите внимание, что при полностью положительном Φ его операторы Крауса не обязательно должны быть единственными. Например, любая факторизация "квадратного корня" матрицы Чоя C Φ = B ∗ B дает набор операторов Крауса.
Позволять
где b i * - векторы-строки матрицы B , тогда
Соответствующие операторы Крауса могут быть получены точно так же, как при доказательстве.
Когда операторы Крауса получаются из разложения по собственным векторам матрицы Чоя, поскольку собственные векторы образуют ортогональное множество, соответствующие операторы Крауса также ортогональны в скалярном произведении Гильберта – Шмидта . В общем случае это неверно для операторов Крауса, полученных из факторизации квадратного корня. (Положительные полуопределенные матрицы обычно не имеют уникальной факторизации квадратного корня.)
Если два набора операторов Крауса { A i } 1 nm и { B i } 1 nm представляют одно и то же полностью положительное отображение Φ, то существует унитарная операторная матрица
Это можно рассматривать как частный случай результата, связывающего два минимальных представления Стайнспринга .
В качестве альтернативы существует скалярная матрица изометрии { u ij } ij ∈ C nm × nm такая, что
Это следует из того факта , что в течение двух квадратных матриц М и N , ММ * = НН * тогда и только тогда , когда М = NU для некоторых унитарного U .
Полностью копозитивные карты
Из теоремы Чоя немедленно следует, что Φ полностью копозитивно тогда и только тогда, когда оно имеет вид
Карты с сохранением эрмитов
Технику Чоя можно использовать для получения аналогичного результата для более общего класса карт. Φ называется сохраняющим эрмито, если A эрмитово, влечет Φ ( A ) также эрмитово. Можно показать, что Φ сохраняет эрмит, если и только если имеет вид
где λ i - действительные числа, собственные значения C Φ , и каждое V i соответствует собственному вектору C Φ . В отличие от полностью положительного случая, C Φ может не быть положительным. Поскольку эрмитовы матрицы в общем случае не допускают факторизации вида B * B , представление Крауса больше невозможно для данного Φ.
Смотрите также
Рекомендации
- М.-Д. Чой, Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах , Линейная алгебра и ее приложения, 10, 285–290 (1975).
- В. П. Белавкин, П. Сташевский, Теорема Радона-Никодима для полностью положительных отображений, Сообщения по математической физике, т. 24, № 1, 49–55 (1986).
- Дж. Де Пиллис, Линейные преобразования, сохраняющие эрмитовы и положительные полуопределенные операторы , Тихоокеанский математический журнал, 23, 129–137 (1967).