Квантовая операция

В квантовой механике , А квантовая операция (также известная как квантовые динамическая карта или квантовый процесс ) представляет собой математический аппарат , используемый для описания широкого класса преобразований , что квантовая механическая система может пройти. Это было впервые обсуждались в качестве общего стохастического преобразования для матрицы плотности с помощью Джорджа Сударшана . ^[1] Формализм квантовых операций описывает не только единичную временную эволюцию или преобразования симметрии изолированных систем, но также эффекты измерения и переходные взаимодействия с окружающей средой. В контексте квантовых вычислений квантовая операция называется квантовым каналом..

Обратите внимание, что некоторые авторы используют термин «квантовая операция» специально для обозначения полностью положительных (CP) и не увеличивающих след карт в пространстве матриц плотности, а термин « квантовый канал » - для обозначения подмножества тех, которые являются строго сохраняет следы. ^[2]

Квантовые операции формулируются в терминах описания оператора плотности квантово-механической системы. Строго говоря, квантовая операция - это линейное , полностью положительное отображение множества операторов плотности в себя. В контексте квантовой информации, часто накладывает дополнительное ограничение , что квантовая операция должна быть физической , ^[3] , то есть удовлетворяют для любого состояния .${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq \ OperatorName {Tr} [{\ mathcal {E}} (\ rho)] \ Leq 1}$${\ displaystyle \ rho}$

Некоторые квантовые процессы невозможно уловить в формализме квантовых операций; ^[4] в принципе, матрица плотности квантовой системы может претерпевать совершенно произвольную временную эволюцию. Квантовые операции обобщаются квантовыми приборами , которые фиксируют классическую информацию, полученную во время измерений, в дополнение к квантовой информации .

Фон [ править ]

Картина Шредингера дает удовлетворительное объяснение временной эволюции состояния квантово-механической системы при определенных предположениях. Эти предположения включают

• Система нерелятивистская
• Система изолирована.

Картина Шредингера для временной эволюции имеет несколько математически эквивалентных формулировок. Одна такая формулировка выражает скорость изменения состояния во времени через уравнение Шредингера . Более подходящая формулировка для этой экспозиции выражается следующим образом:

Эффект прохождения т единиц времени на состоянии изолированной системы S задаются унитарный оператор U _т на пространстве Гильберта Н , ассоциированный с S .

Это означает, что если система находится в состоянии, соответствующем v ∈ H, в момент времени s , то состояние через t единиц времени будет U _t v . Для релятивистских систем не существует универсального параметра времени, но мы все же можем сформулировать влияние определенных обратимых преобразований на квантово-механическую систему. Например, преобразования состояний, относящиеся к наблюдателям в разных системах отсчета, задаются унитарными преобразованиями. В любом случае эти преобразования состояний переводят чистые состояния в чистые состояния; это часто формулируется, говоря, что в этой идеализированной структуре нет декогеренции .

Для взаимодействующих (или открытых) систем, например тех, которые проходят измерения, ситуация совершенно иная. Начнем с того, что изменения состояния, испытываемые такими системами, не могут быть объяснены исключительно преобразованием множества чистых состояний (то есть тех, которые связаны с векторами нормы 1 в H ). После такого взаимодействия система в чистом состоянии φ может больше не находиться в чистом состоянии φ. В общем, это будет статистическая смесь последовательности чистых состояний φ ₁ , ..., φ _k с соответствующими вероятностями λ ₁ , ..., λ _k . Переход от чистого состояния к смешанному называется декогеренцией.

Для случая взаимодействующей системы было установлено множество математических формализмов. Формализм квантовых операций появился примерно в 1983 году из работ Карла Крауса , который опирался на более ранние математические работы Ман-Дуэна Чоя . Его преимущество состоит в том, что он выражает такие операции, как измерение, как отображение состояний плотности в состояния плотности. В частности, эффект квантовых операций остается в пределах набора состояний плотности.

Определение [ править ]

Напомним, что оператор плотности - это неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве с единичным следом.

Математически квантовая операция - это линейное отображение Φ между пространствами операторов классов следов на гильбертовых пространствах H и G, такое что

• Если S - оператор плотности, Tr (Φ ( S )) ≤ 1.
• Φ полностью положительна , то есть для любого натурального числа n и любой квадратной матрицы размера n , элементы которой являются операторами следового класса

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} S_ {11} & \ cdots & S_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ S_ {n1} & \ cdots & S_ {nn} \ end {bmatrix}}}$

и которая неотрицательна, то

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$

также неотрицательно. Другими словами, Φ полностью положительна , если положительна для всех п , где обозначает тождественное отображение на C * -алгебре из матриц.${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

Обратите внимание, что по первому условию квантовые операции могут не сохранять свойство нормализации статистических ансамблей. С вероятностной точки зрения квантовые операции могут быть субмарковскими . Чтобы квантовая операция сохранила набор матриц плотности, нам нужно дополнительное предположение, что она сохраняет след.

В контексте квантовой информации определенные здесь квантовые операции, то есть полностью положительные отображения, не увеличивающие след, также называются квантовыми каналами или стохастическими отображениями . Формулировка здесь ограничивается каналами между квантовыми состояниями; однако его можно расширить, включив также и классические состояния, что позволит обрабатывать квантовую и классическую информацию одновременно.

Операторы Крауса [ править ]

Теорема Крауса характеризует полностью положительные отображения , моделирующие квантовые операции между квантовыми состояниями. Неформально теорема гарантирует, что действие любой такой квантовой операции на состояние всегда можно записать как для некоторого набора операторов, удовлетворяющих условиям , где 1 - тождественный оператор.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}=1}$

Формулировка теоремы [ править ]

Теорема . ^[5] Позвольте и быть гильбертовыми пространствами размерности и соответственно, и быть квантовой операцией между и . Тогда есть матрицы${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

отображение на такое , что для любого состояния ,${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \rho }$И наоборот, любая карта этой формы является квантовой операцией, если${\displaystyle \Phi }$ доволен.

Матрицы называются операторами Крауса . (Иногда они известны как операторы шума или операторы ошибок , особенно в контексте обработки квантовой информации , где квантовая операция представляет зашумленные, вызывающие ошибки эффекты окружающей среды.) Теорема факторизации Стайнспринга распространяет приведенный выше результат на произвольный разделимый Гильберта. пространства H и G . Там S заменяется оператором класса трассировки и последовательностью ограниченных операторов.${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$

Унитарная эквивалентность [ править ]

Матрицы Крауса не определяются однозначно квантовой операцией вообще. Например, разные факторизации Холецкого матрицы Чоя могут давать разные наборы операторов Крауса. Следующая теорема утверждает, что все системы матриц Крауса, представляющие одну и ту же квантовую операцию, связаны унитарным преобразованием:${\displaystyle \Phi }$

Теорема . Пусть - (не обязательно сохраняющая след) квантовая операция в конечномерном гильбертовом пространстве H с двумя представляющими последовательностями матриц Крауса и . Тогда существует унитарная операторная матрица такая, что${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$

${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$

В бесконечномерном случае это обобщается на связь между двумя минимальными представлениями Стайнспринга .

Следствием теоремы Стайнспринга является то, что все квантовые операции могут быть реализованы путем унитарной эволюции после присоединения подходящей вспомогательной функции к исходной системе.

Замечания [ править ]

Эти результаты могут быть также получены из теоремы Чоя о полностью положительных отображениях , характеризующих полностью положительное конечномерное отображение с помощью уникального эрмитово-положительного оператора плотности ( матрицы Чоя ) относительно следа. Среди всех возможных представлений Kraus данного канала , существует канонического вид отличающегося соотношения ортогональности операторов Крауса, . Такой канонический набор ортогональных операторов Крауса может быть получен путем диагонализации соответствующей матрицы Чоя и преобразования ее собственных векторов в квадратные матрицы.${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

Также существует бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя, известное как «теорема Белавкина Радона-Никодима для полностью положительных отображений», которое определяет оператор плотности как «производную Радона – Никодима» квантового канала относительно доминирующего полностью положительная карта (опорный канал). Он используется для определения относительной точности и взаимной информации для квантовых каналов.

Динамика [ править ]

Для нерелятивистское квантово - механической системы, ее эволюция во времени описывается одним параметром группы автоморфизмов {α _т } _т из Q . Это можно сузить до унитарных преобразований: при определенных слабых технических условиях (см. Статью о квантовой логике и ссылку Варадараджана) существует сильно непрерывная однопараметрическая группа { U _t } _t унитарных преобразований основного гильбертова пространства такая, что элементы E из Q эволюционируют по формуле

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

Эволюцию системного времени можно также рассматривать двояко как временную эволюцию пространства статистических состояний. Эволюция статистического состояния задается семейством операторов {β _t } _t таких, что

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$

Очевидно, что для каждого значения т , S → U * _T S U _T является квантовой операцией. Более того, эта операция обратима .

Это легко обобщить: если G - связная группа Ли симметрий Q, удовлетворяющая тем же условиям слабой непрерывности, то действие любого элемента g группы G задается унитарным оператором U :

${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.\quad }$

Это отображение г → U _г известен как проективное представление о G . Отображения S → U * _g S U _g являются обратимыми квантовыми операциями.

Квантовое измерение [ править ]

Квантовые операции можно использовать для описания процесса квантового измерения . В представлении ниже описывается измерение в терминах самосопряженных проекций на сепарабельное комплексное гильбертово пространство H , то есть в терминах PVM ( проекционно-значная мера ). В общем случае измерения могут быть выполнены с использованием неортогональных операторов, через понятия POVM . Неортогональный случай интересен тем, что может улучшить общую эффективность квантового инструмента .

Двоичные измерения [ править ]

Квантовые системы можно измерить, задав серию вопросов « да – нет» . Можно понять, что этот набор вопросов выбирается из ортодополняемой решетки Q предложений квантовой логики . Решетки эквивалентно пространству самосопряжённых проекций на комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве H .

Рассмотрим систему в некотором состоянии S с целью определить, обладает ли она каким-либо свойством E , где E - элемент решетки квантовых вопросов типа « да-нет» . Измерение в этом контексте означает подчинение системы некоторой процедуре, чтобы определить, удовлетворяет ли состояние свойству. Ссылка на состояние системы в этом обсуждении может иметь операционный смысл , рассматривая статистический ансамбль систем. Каждое измерение дает определенное значение 0 или 1; кроме того, применение процесса измерения к ансамблю приводит к предсказуемому изменению статистического состояния. Это преобразование статистического состояния задается квантовой операцией

${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).}$

Здесь E можно понимать как оператор проекции .

Общий случай [ править ]

В общем случае измерения проводятся на наблюдаемых, принимающих более двух значений.

Когда наблюдаемая A имеет чисто точечный спектр , ее можно записать в терминах ортонормированного базиса собственных векторов. То есть A имеет спектральное разложение

${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$

где E _A (λ) - семейство попарно ортогональных проекций , каждая на соответствующее собственное подпространство A, связанное со значением измерения λ.

Измерение наблюдаемых А дает собственное значение А . Повторные измерения, сделанные на статистическом ансамбле S систем, приводит к распределению вероятностей по собственному значению спектра A . Это дискретное распределение вероятностей , которое задается формулой

${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$

Измерение статистического состояния S представлено картой

${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$

То есть сразу после измерения статистическое состояние представляет собой классическое распределение по собственным подпространствам, связанным с возможными значениями λ наблюдаемого: S - смешанное состояние .

Не полностью положительные карты [ править ]

Шаджи и Сударшан утверждали в статье Physics Letters A, что при внимательном рассмотрении полная положительность не является требованием для хорошего представления открытой квантовой эволюции. Их расчеты показывают, что, начиная с некоторых фиксированных начальных корреляций между наблюдаемой системой и окружающей средой, карта, ограниченная самой системой, не обязательно даже положительна. Однако он не является положительным только для тех состояний, которые не удовлетворяют предположению о форме исходных корреляций. Таким образом, они показывают, что для полного понимания квантовой эволюции следует также учитывать не полностью положительные карты. ^{[4] [6] [7]}

См. Также [ править ]

• Квантовая динамическая полугруппа
• Супероператор

Ссылки [ править ]

• Nielsen, Michael A .; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107002173. OCLC  665137861 .
• Чой, Ман-Дуэн (1975). «Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах» . Линейная алгебра и ее приложения . Elsevier BV. 10 (3): 285–290. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (75) 90075-0 . ISSN  0024-3795 .
• Сударшан, ЭКГ; Мэтьюз, PM; Рау, Джаясита (1961-02-01). «Стохастическая динамика квантово-механических систем». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 121 (3): 920–924. Bibcode : 1961PhRv..121..920S . DOI : 10.1103 / Physrev.121.920 . ISSN  0031-899X .
• Белавкин, ВП; Сташевский, П. (1986). «Теорема Радона-Никодима для вполне положительных отображений». Доклады по математической физике . Elsevier BV. 24 (1): 49–55. Bibcode : 1986RpMP ... 24 ... 49В . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (86) 90039-X . ISSN  0034-4877 .
• К. Краус, Состояния, эффекты и операции: фундаментальные понятия квантовой теории , Springer Verlag, 1983 г.
• В. Ф. Стайнспринг, Положительные функции на C * -алгебрах , Труды Американского математического общества, 211–216, 1955
• В. Варадараджан, Геометрия квантовой механики, тома 1 и 2, Springer-Verlag 1985.