В физике , то картина Шредингера является формулировкой из квантовой механики , в которой векторы состояния развиваются во время, но операторы (наблюдаемые и другие) являются постоянными по времени. [1] [2] Это отличается от картины Гейзенберга, в которой состояния остаются постоянными, в то время как наблюдаемые эволюционируют во времени, и от картины взаимодействия, в которой и состояния, и наблюдаемые развиваются во времени. Картины Шредингера и Гейзенберга связаны как активные и пассивные преобразования и коммутационные соотношения. между операторами сохраняются в переходе между двумя картинками.
В картине Шредингера состояние системы меняется со временем. Эволюция замкнутой квантовой системы осуществляется унитарным оператором , оператором временной эволюции . Для временной эволюции от вектора состоянияв момент t 0 к вектору состоянияв момент времени t оператор эволюции во времени обычно записывается, и у одного есть
В случае, когда гамильтониан системы не меняется во времени, оператор временной эволюции имеет вид
где показатель степени оценивается через его ряд Тейлора .
Картина Шредингера полезна при работе с не зависящим от времени гамильтонианом H ; это,.
Задний план
В элементарной квантовой механике состояние квантово-механической системы представлено комплексной волновой функцией ψ ( x , t ) . Более абстрактно состояние может быть представлено как вектор состояния, или кет ,. Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор - это функция, которая принимает кет и возвращает какой-то другой кет .
Различия между представлениями Шредингера и Гейзенберга о квантовой механике связаны с тем, как поступать с системами, которые развиваются во времени: зависящий от времени характер системы должен поддерживаться некоторой комбинацией векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состояниидля которого математическое ожидание импульса,, колеблется во времени синусоидально. Тогда можно спросить, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния, оператор импульса , или оба. Все три варианта действительны; первая дает картину Шредингера, вторая - картину Гейзенберга, а третья - картину взаимодействия.
Оператор эволюции во времени
Определение
Оператор эволюции во времени U ( t , t 0 ) определяется как оператор, который действует на кет в момент времени t 0, чтобы произвести кет в какой-то другой момент времени t :
Для бюстгальтеров ,
Характеристики
- Унитарность
Оператор временной эволюции должен быть унитарным . Это норма государства, не должна меняться со временем. Это,
Следовательно,
- Личность
Когда t = t 0 , U - тождественный оператор , поскольку
- Закрытие
Временную эволюцию от t 0 до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию, сначала от t 0 до промежуточного времени t 1 , а затем от t 1 до конечного момента t . Следовательно,
Дифференциальное уравнение для оператора эволюции во времени
Мы опускаем индекс t 0 в операторе временной эволюции с условием, что t 0 = 0, и записываем его как U ( t ). Уравнение Шредингера имеет вид
где H - гамильтониан . Теперь используя оператор эволюции во времени U, чтобы написать,
С является постоянным кетом (состояние ket при t = 0 ), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет в гильбертовом пространстве, оператор временной эволюции должен подчиняться уравнению
Если гамильтониан не зависит от времени, решение вышеуказанного уравнения будет [примечание 1]
Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно оцениваться через его ряд Тейлора :
Следовательно,
Обратите внимание, что - произвольный кет. Однако, если исходный кет является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E :
Собственные состояния гамильтониана - это стационарные состояния : они принимают только общий фазовый фактор по мере того, как они развиваются со временем.
Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как
Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время не коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как
где T - оператор временного порядка , который иногда называют серией Дайсона в честь Фримена Дайсона .
Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимается самой системой отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это картина Гейзенберга .
Сводное сравнение эволюции на всех картинках
Для не зависящего от времени гамильтониана H S , где H 0, S - свободный гамильтониан,
Эволюция | Изображение ( ) | ||
из: | Гейзенберг | Взаимодействие | Шредингер |
Кетское государство | постоянный | ||
Наблюдаемый | постоянный | ||
Матрица плотности | постоянный |
Смотрите также
Заметки
- ^ При т = 0 , U ( т ) должно сводиться к единичному оператору.
- ^ Паркер, CB (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. С. 786, 1261 . ISBN 0-07-051400-3.
- ^ Ю. Пелег; Р. Пнини; Э. Заарур; Э. Хехт (2010). Квантовая механика . Серия набросков Шуама (2-е изд.). Макгроу Хилл. п. 70. ISBN 978-0-07-162358-2.
Рекомендации
- Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Вайли. С. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
- Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского, сделанный Г.М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
- Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Вили, 1998) с. 430–1 ISBN 0-471-88702-1
- Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) Интернет-копия - Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Пленум Пресс, ISBN 978-0-306-44790-7 .
- Дж. Дж. Сакураи (1993); Современная квантовая механика (исправленное издание), ISBN 978-0-201-53929-5 .