В квантовой физике , квантовое состояние представляет собой математический объект , который обеспечивает распределение вероятностей для результатов каждого возможного измерения на системе. Знание квантового состояния вместе с правилами эволюции системы во времени исчерпывает все, что можно предсказать о поведении системы. Смесь квантовых состояний снова квантовое состояние. Квантовые состояния, которые нельзя записать как смесь других состояний, называются чистыми квантовыми состояниями , а все остальные состояния называются смешанными квантовыми состояниями . Чистое квантовое состояние может быть представлено лучом в гильбертовом пространстве надкомплексные числа , [1] [2], в то время как смешанные состояния представлены матрицами плотности , которые являются положительными полуопределенными операторами , действующими в гильбертовых пространствах. [3] [4]
Чистые состояния также известны как векторы состояния или волновые функции , причем последний термин применяется, в частности, когда они представлены как функции положения или импульса. Например, при работе с энергетическим спектром от электрона в атоме водорода , соответствующие векторы состояния обозначается главным квантовое число п , с угловым моментом квантового числа л , с числом магнитных квантовыми м , и спина Z-составляющей с z . В качестве другого примера, если спин электрона измеряется в любом направлении, например, с помощью эксперимента Штерна-Герлаха , есть два возможных результата: вверх или вниз. Таким образом, гильбертово пространство для спина электрона является двумерным и представляет собой кубит . Чистое состояние здесь представлено двумерным комплексным вектором, длиной один; то есть с
где а также являются абсолютными значениями из а также . Смешанное состояние в этом случае имеет структуруматрица, которая является эрмитовой и положительно полуопределенной, и имеет след 1. [5] Более сложный случай (в обозначениях бра-кет ) дается синглетным состоянием , которое иллюстрирует квантовую запутанность :
который включает суперпозицию совместных спиновых состояний для двух частиц со спином 1 ⁄ 2 . Синглетное состояние удовлетворяет тому свойству, что если спины частиц измеряются в одном и том же направлении, то либо спин первой частицы наблюдается вверх, а спин второй частицы - вниз, либо первая - вниз, а вторая - вниз. одна наблюдается вверх, обе возможности возникают с равной вероятностью.
Смешанное квантовое состояние соответствует вероятностной смеси чистых состояний; однако различные распределения чистых состояний могут порождать эквивалентные (т. е. физически неразличимые) смешанные состояния. Теорема Шредингера – HJW классифицирует множество способов записать данное смешанное состояние как выпуклую комбинацию чистых состояний. [6] Прежде чем конкретное измерение будет выполнено в квантовой системе, теория дает только распределение вероятностей для результата, а форма, которую принимает это распределение, полностью определяется квантовым состоянием и линейными операторами, описывающими измерение. Распределения вероятностей для различных измерений демонстрируют компромиссы, примером которых является принцип неопределенности : состояние, которое подразумевает узкий разброс возможных результатов для одного эксперимента, обязательно подразумевает широкий разброс возможных результатов для другого.
Концептуальное описание
Чистые состояния
В математической формулировке квантовой механики чистые квантовые состояния соответствуют векторам в гильбертовом пространстве , в то время как каждая наблюдаемая величина (например, энергия или импульс частицы ) связана с математическим оператором . Оператор служит линейной функцией, которая действует на состояния системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям наблюдаемой. Например, можно наблюдать частицу с импульсом 1 кг⋅м / с тогда и только тогда, когда одно из собственных значений оператора импульса равно 1 кг⋅м / с. Соответствующий собственный вектор (который физики называют собственным состоянием ) с собственным значением 1 кг⋅м / с будет квантовым состоянием с определенным, четко определенным значением импульса 1 кг⋅м / с, без квантовой неопределенности . Если измерить его импульс, результат гарантированно составит 1 кгм / с.
С другой стороны, система в суперпозиции нескольких различных собственных состояний, как правило, имеет квантовую неопределенность для данной наблюдаемой. Мы можем представить эту линейную комбинацию собственных состояний как:
Коэффициент, который соответствует определенному состоянию в линейной комбинации, является комплексным числом, что позволяет создавать интерференционные эффекты между состояниями. Коэффициенты зависят от времени. Как квантовое состояние изменяется во времени, управляется оператором временной эволюции . Символы а также [а] окружающиеявляются частью обозначения бюстгальтера .
Статистические смеси состояний - это другой тип линейной комбинации. Статистическая смесь состояний - это статистический ансамбль независимых систем. Статистические смеси представляют собой степень знания, в то время как неопределенность в квантовой механике является фундаментальной. Математически статистическая смесь - это не комбинация с использованием комплексных коэффициентов, а скорее комбинация с использованием действительных положительных вероятностей различных состояний.. Число представляет собой вероятность того, что случайно выбранная система находится в состоянии . В отличие от случая линейной комбинации каждая система находится в определенном собственном состоянии. [7] [8]
Математическое ожидание наблюдаемого A - это статистическое среднее измеренных значений наблюдаемого. Именно это среднее значение и распределение вероятностей предсказывается физическими теориями.
Нет состояния, которое одновременно являлось бы собственным состоянием для всех наблюдаемых. Например, мы не можем подготовить состояние, при котором точно известны как измерение положения Q ( t ), так и измерение импульса P ( t ) (одновременно t ); хотя бы у одного из них будет диапазон возможных значений. [b] Это содержание соотношения неопределенностей Гейзенберга .
Более того, в отличие от классической механики, измерение системы неизбежно приводит к изменению ее состояния . [9] [10] [c] Точнее: после измерения наблюдаемой A система будет в собственном состоянии A ; таким образом, состояние изменилось, если только система уже не находилась в этом собственном состоянии. Это выражает своего рода логическую последовательность: если мы измеряем A дважды в одном и том же прогоне эксперимента, измерения идут последовательно во времени [d], то они дадут одинаковые результаты. Однако это имеет следующие странные последствия.
Рассмотрим два несовместимых наблюдаемых , A и B , где A соответствует измерению раньше во времени , чем B . [e] Предположим, что система находится в собственном состоянии B в начале эксперимента. Если мы измеряем только B , все прогоны эксперимента дадут одинаковый результат. Если мы измеряем сначала A, а затем B в одном и том же запуске эксперимента, система перейдет в собственное состояние A после первого измерения, и мы обычно заметим, что результаты B являются статистическими. Таким образом: квантово-механические измерения влияют друг на друга , и порядок, в котором они выполняются, важен.
Другая особенность квантовых состояний становится актуальной, если мы рассматриваем физическую систему, состоящую из нескольких подсистем; например, эксперимент с двумя частицами, а не с одной. Квантовая физика допускает определенные состояния, называемые запутанными состояниями , которые показывают определенные статистические корреляции между измерениями двух частиц, которые не могут быть объяснены классической теорией. Подробнее см. Запутанность . Эти запутанные состояния приводят к экспериментально проверяемым свойствам ( теорема Белла ), которые позволяют нам различать квантовую теорию и альтернативные классические (неквантовые) модели.
Изображение Шредингера и изображение Гейзенберга
Можно считать, что наблюдаемые зависят от времени, а состояние σ фиксировалось один раз в начале эксперимента. Такой подход называется картиной Гейзенберга . (Этот подход был использован в более поздней части обсуждения выше, с изменяющимися во времени наблюдаемыми P ( t ), Q ( t ).) Аналогичным образом можно рассматривать наблюдаемые как фиксированные, в то время как состояние системы зависит от времени. ; это известно как картина Шредингера . (Этот подход был использован в более ранней части обсуждения выше, с изменяющимся во времени состоянием.) Концептуально (и математически) эти два подхода эквивалентны; выбор одного из них - дело условности.
Обе точки зрения используются в квантовой теории. В то время как нерелятивистская квантовая механика обычно формулируется в терминах картины Шредингера, картина Гейзенберга часто предпочтительнее в релятивистском контексте, то есть для квантовой теории поля . Сравните с картиной Дирака . [12] : 65
Формализм в квантовой физике
Чистые состояния как лучи в комплексном гильбертовом пространстве
Квантовая физика чаще всего формулируется в терминах линейной алгебры следующим образом. Любая данная система отождествляется с некоторым конечномерным или бесконечномерным гильбертовым пространством . Чистые состояния соответствуют векторам нормы 1. Таким образом, множество всех чистых состояний соответствует единичной сфере в гильбертовом пространстве, потому что единичная сфера определяется как множество всех векторов с нормой 1.
Умножение чистого состояния на скаляр физически несущественно (пока состояние рассматривается само по себе). Если вектор в комплексном гильбертовом пространстве могут быть получены из другого вектора путем умножения на некоторое ненулевое комплексное число, два вектора, как говорят, соответствуют одному и тому же "лучу" в [1] : 50 , а также к той же точке в проективном гильбертовом пространстве из.
Обозначение Бра – Кет
В вычислениях в квантовой механике часто используются линейные операторы , скалярные произведения, двойственные пространства и эрмитово сопряжение . Чтобы сделать такие вычисления гладкими и сделать ненужным (в некоторых контекстах) полное понимание лежащей в основе линейной алгебры, Поль Дирак изобрел обозначение для описания квантовых состояний, известное как обозначение скобки . Хотя подробности этого выходят за рамки данной статьи, некоторые последствия этого:
- Выражение, используемое для обозначения вектора состояния (которое соответствует чистому квантовому состоянию), принимает вид (где ""могут быть заменены любыми другими символами, буквами, числами или даже словами). Это можно противопоставить обычной математической нотации, где векторы обычно представляют собой строчные латинские буквы, и из контекста ясно, что они действительно являются векторами .
- Дирак определил два вида вектора, бюстгальтер и кет , двойственные друг другу. [f]
- Каждый кет однозначно ассоциируется с так называемым бюстгальтером , обозначаемым, что соответствует тому же физическому квантовому состоянию. Технически бюстгальтер является дополнением кет. Это элемент двойственного пространства , связанный с кет теоремой о представлении Рисса . В конечномерном пространстве с выбранным базисом записав как вектор-столбец, - вектор-строка; чтобы получить его, просто возьмите транспонированное и комплексное сопряжение элемента.
- Скалярные произведения [g] [h] (также называемые скобками ) написаны так, чтобы выглядеть рядом друг с другом как бюстгальтер и кет:. (Фраза «бюстгальтер» должна напоминать «скобку».)
Вращение
Угловой момент имеет тот же размер ( M · L 2 · Т -1 ) в качестве постоянная Планка и в квантовой масштабе, ведет себя как дискретная степень свободы квантовой системы. [ какой? ] Большинство частиц обладают своего рода внутренним угловым моментом, который вообще не проявляется в классической механике и является результатом релятивистского обобщения теории Дирака. Математически это описывается спинорами . В нерелятивистской квантовой механике групповые представления группы Ли SU (2) используются для описания этой дополнительной свободы. Для данной частицы выбор представления (и, следовательно, диапазон возможных значений наблюдаемого спина) задается неотрицательным числом S, которое в единицах приведенной постоянной Планка ħ является либо целым числом (0, 1, 2 ...) или полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 ...). Для массивной частицы со спином S ее спиновое квантовое число m всегда принимает одно из 2 S + 1 возможных значений в наборе
Как следствие, квантовое состояние частицы со спином описывается векторной волновой функцией со значениями в C 2 S +1 . Эквивалентно, он представлен комплексной функцией четырех переменных: одна дискретная квантово-числовая переменная (для спина) добавляется к обычным трем непрерывным переменным (для положения в пространстве).
Многотельные состояния и статистика частиц
Квантовое состояние системы из N частиц, каждая потенциально со спином, описывается комплексной функцией с четырьмя переменными на частицу, соответствующими 3 пространственным координатам и спину , например
Здесь спиновые переменные m ν принимают значения из множества
где - спин ν- й частицы. для частицы, не обладающей спином.
Обработка идентичных частиц сильно отличается для бозонов (частиц с целым спином) и фермионов (частиц с полуцелым спином). Вышеупомянутая N -частичная функция должна быть либо симметризована (в бозонном случае), либо антисимметризована (в фермионном случае) относительно числа частиц. Если не все N частиц идентичны, но некоторые из них идентичны, то функция должна быть (анти) симметризована отдельно по переменным, соответствующим каждой группе идентичных переменных, в соответствии с ее статистикой (бозонной или фермионной).
Электроны - это фермионы с S = 1/2, фотоны (кванты света) - это бозоны с S = 1 (хотя в вакууме они безмассовые и не могут быть описаны с помощью механики Шредингера).
Когда в симметризации или антисимметризации нет необходимости, N -частичные пространства состояний могут быть получены просто с помощью тензорных произведений одночастичных пространств, к которым мы вернемся позже.
Базисные состояния одночастичных систем
Как и в случае любого гильбертова пространства , если для гильбертова пространства системы выбран базис , то любое кет-пространство может быть расширено как линейная комбинация этих базисных элементов. Условно, учитывая базисные кеты, любой кет можно написать
где c i - комплексные числа . На физическом уровне это описывается следующим образом:был выражен как квантовая суперпозиция состояний. Если базисные кеты выбраны ортонормированными (как это часто бывает), то.
Следует отметить одно свойство: нормализованные состояния характеризуются
и для ортонормированного базиса это переводится как
Разложения такого рода играют важную роль в измерениях в квантовой механике. В частности, еслиявляются собственными состояниями (с собственными значениями k i ) наблюдаемой, и эта наблюдаемая измеряется в нормированном состоянии, то вероятность того, что результатом измерения будет k i, равна | c i | 2 . (Вышеупомянутое условие нормализации требует, чтобы общая сумма вероятностей была равна единице.)
Особенно важным примером является позиционный базис , который представляет собой базис, состоящий из собственных состояний с собственными значениями наблюдаемой, которая соответствует положению измерения. [i] Если эти собственные состояния невырождены (например, если система является единственной бесспиновой частицей), то любой кет связана с комплексной функцией трехмерного пространства
- [k]
Эта функция называется волновой функцией, соответствующей. Как и в предыдущем дискретном случае, плотность вероятности нахождения частицы в позиции является а нормализованные состояния имеют
- .
С точки зрения непрерывного набора позиционных базисов , штат является:
- .
Суперпозиция чистых состояний
Как упоминалось выше, квантовые состояния могут накладываться друг на друга . Если а также два кета, соответствующие квантовым состояниям, кет
это другое квантовое состояние (возможно, ненормированное). Отметим, что как амплитуды, так и фазы ( аргументы ) а также повлияет на результирующее квантовое состояние. Другими словами, например, даже если а также (для действительного θ ) соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, они не взаимозаменяемы , так как а также не будет соответствовать одному и тому же физическому состоянию для всех вариантов выбора. Тем не мение, а также будет соответствовать тому же физическому состоянию. Иногда это описывают, говоря, что «глобальные» фазовые факторы нефизичны, но «относительные» фазовые факторы являются физическими и важными.
Одним из практических примеров суперпозиции является эксперимент с двумя щелями , в котором суперпозиция приводит к квантовой интерференции . Состояние фотона представляет собой суперпозицию двух различных состояний, одно из которых соответствует прохождению фотона через левую щель, а другое - прохождению через правую щель. Относительная фаза этих двух состояний зависит от разницы расстояний до двух щелей. В зависимости от этой фазы интерференция является конструктивной в одних местах и деструктивной в других, создавая интерференционную картину. Мы можем сказать, что наложенные состояния находятся в когерентной суперпозиции , по аналогии с когерентностью в других волновых явлениях.
Другой пример важности относительной фазы в квантовой суперпозиции - осцилляции Раби , где относительная фаза двух состояний изменяется во времени из-за уравнения Шредингера . В результате суперпозиция колеблется между двумя разными состояниями.
Смешанные состояния
Чисто квантовое состояние является состоянием , которое может быть описано с помощью одного вектора кет, как описано выше. Смешанное квантовое состояние представляет собой статистический ансамбль чистых состояний (см квантовой статистической механики ). Смешанные состояния неизбежно возникают из чистых состояний, когда для составной квантовой системыс запутанным состоянием на нем, частьнедоступен для наблюдателя. Состояние деталитогда выражается как частичный след по.
Смешанное состояние нельзя описать одним кет-вектором. Вместо этого он описывается связанной с ним матрицей плотности (или оператором плотности ), обычно обозначаемой ρ . Обратите внимание, что матрицы плотности могут описывать как смешанные, так и чистые состояния, рассматривая их на одном основании. Более того, смешанное квантовое состояние данной квантовой системы, описываемое гильбертовым пространствомвсегда можно представить как частичный след чистого квантового состояния (называемого очищением ) на более крупной двудольной системе для достаточно большого гильбертова пространства .
Матрица плотности, описывающая смешанное состояние, определяется как оператор вида
где - доля ансамбля в каждом чистом состоянии Матрицу плотности можно рассматривать как способ использования одночастичного формализма для описания поведения многих похожих частиц, давая распределение вероятностей (или ансамбль) состояний, в которых эти частицы могут находиться.
Простой критерий для проверки , является ли матрица плотности , описывающая чистое или смешанное состояние является то , что след от р 2 равен 1 , если состояние является чистым, и меньше , чем 1 , если состояние является смешанным. [1] [14] Другой эквивалентный критерий состоит в том, что энтропия фон Неймана равна 0 для чистого состояния и строго положительна для смешанного состояния.
Правила измерения в квантовой механике особенно просто сформулировать в терминах матриц плотности. Например, среднее по ансамблю ( математическое ожидание ) измерения, соответствующего наблюдаемой A , определяется как
где - собственные наборы и собственные значения, соответственно, для оператора A , а "tr" означает след. Важно отметить, что имеют место два типа усреднения, один из которых представляет собой взвешенную квантовую суперпозицию по базисным кетам.чистых состояний, а другое - статистическое (упомянутое некогерентное ) среднее с вероятностями p s этих состояний.
Согласно Eugene Вигнеру , [15] понятие смеси было выдвинуто Л. Д. Ландау . [16] [13] : 38–41
Математические обобщения
Состояния можно сформулировать в терминах наблюдаемых, а не в виде векторов в векторном пространстве. Это положительные нормализованные линейные функционалы на C * -алгебре или иногда другие классы алгебр наблюдаемых. См. Положение о C * -алгебре и конструкции Гельфанда – Наймарка – Сигала для получения более подробной информации.
Смотрите также
- Атомный электронный переход
- Сфера Блоха
- Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера
- Основное состояние
- Введение в квантовую механику
- Теорема о запрете клонирования
- Ортонормированный базис
- PBR теорема
- Квантовый гармонический осциллятор
- Квантовый логический вентиль
- Уменьшение вектора состояния , по историческим причинам названное коллапсом волновой функции
- Стационарное состояние
- Состояние W
Заметки
- ^ Иногда пишется ">"; см. угловые скобки .
- ^ Во избежание недоразумений: здесь мы имеем в виду, что Q ( t ) и P ( t ) измеряются в одном и том же состоянии, но не в одном и том же ходе эксперимента.
- ^ Дирак (1958), [11] стр. 4: «Если система мала, мы не можем наблюдать за ней, не вызывая серьезных помех».
- ^ т.е. разделены нулевой задержкой. Можно представить себе это как остановку времени, затем выполнение двух измерений одно за другим, а затем возобновление времени. Таким образом, измерения произошли одновременно, но еще можно сказать, что было первым.
- ^ Для конкретности предположим, что A = Q ( t 1 ) и B = P ( t 2 ) в приведенном выше примере, где t 2 > t 1 > 0.
- ^ Дирак (1958), [11] стр. 20: «Векторы бюстгальтера в том виде, в каком они были здесь представлены, представляют собой совершенно иной вид вектора, чем кеты, и до сих пор между ними нет никакой связи, за исключением существования скалярного произведения бюстгальтера и кета».
- ^ Дирак (1958), [11] стр. 19: «Скалярное произведение〈B | A〉 теперь появляется как полное выражение в скобках».
- ^ Готфрид (2013), [12] стр. 31 : «Определить скалярные продукты между бюстгальтерами и кетами».
- ^ Обратите внимание, что состояние является суперпозицией различных базисных состояний , так а также являются элементами одного и того же гильбертова пространства. Частица в состоянии находится точно в позиции , а частица в состоянии могут быть найдены в разных положениях с соответствующими вероятностями.
- ^ Ландау (1965), [13] стр. 17: « ∫ Ψ f ′ Ψ f * d q = δ ( f ′ - f ) » (левая часть соответствует〈f | f ′〉 ), « ∫ δ ( f ′ - f ) d f ′ = 1 » .
- ^ В непрерывном случае базис kets не являются единичными кетами (в отличие от государственных ): Они нормализованы согласно [j] т.е.( дельта-функция Дирака ), что означает, что
- ^ Обратите внимание, что этот критерий работает, когда матрица плотности нормализована так, что след ρ равен 1, как и для стандартного определения, данного в этом разделе. Иногда матрица плотности нормализуется по-другому, и в этом случае критерием является
Рекомендации
- ^ a b Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , I , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
- ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.) , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-111892-8
- ^ Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Springer. ISBN 3-540-42082-7. OCLC 318268606 .
- ^ Перес, Ашер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2549-4.
- ^ Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (2011-03-04). Квантовые вычисления: мягкое введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
- ^ Киркпатрик, КА (февраль 2006 г.). "Теорема Шредингера-HJW". Основы физики . 19 (1): 95–102. arXiv : квант-ph / 0305068 . DOI : 10.1007 / s10702-006-1852-1 . ISSN 0894-9875 . S2CID 15995449 .
- ^ Статистическая смесь состояний
- ^ «Матрица плотности» . Архивировано из оригинала на 15 января 2012 года . Проверено 24 января 2012 года .
- ^ Гейзенберг, W. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172–198. Перевод как «Актуальное содержание квантовой теоретической кинематики и механики» . Также переведено редакторами Джоном Уилером и Войцехом Зуреком как «Физическое содержание квантовой кинематики и механики» на стр. 62–84 в Quantum Theory and Measurement (1983), Princeton University Press, Princeton NJ.
- ↑ Бор, Н. (1927/1928). Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории, Nature Supplement 14 апреля 1928 г., 121 : 580–590 .
- ^ a b c Дирак, PAM (1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Oxford University Press, Oxford UK.
- ^ а б Готфрид, Курт ; Ян, Тунг-Моу (2003). Квантовая механика: основы (2-е, иллюстрированное изд.). Springer. ISBN 9780387955766.
- ^ а б Лев Ландау ; Евгений Лифшиц (1965). Квантовая механика - нерелятивистская теория (PDF) . Курс теоретической физики. 3 (2-е изд.). Лондон: Pergamon Press.
- ^ Блюм, Теория матриц плотности и приложения , стр. 39 .
- ^ Юджин Вигнер (1962). «Замечания по вопросу о разуме и теле» (PDF) . В IJ Good (ред.). Ученый размышляет . Лондон: Хайнеманн. С. 284–302. Сноска 13 на стр. 180
- ^ Лев Ландау (1927). «Das Dämpfungsproblem in der Wellenmechanik (Проблема затухания в волновой механике)». Zeitschrift für Physik . 45 (5–6): 430–441. Bibcode : 1927ZPhy ... 45..430L . DOI : 10.1007 / bf01343064 . S2CID 125732617 . Английский перевод перепечатан на: Д. Тер Хаар, изд. (1965). Сборник статей Л. Д. Ландау . Оксфорд: Pergamon Press. стр.8–18
дальнейшее чтение
Концепция квантовых состояний, в частности содержание раздела « Формализм в квантовой физике» выше, рассматривается в большинстве стандартных учебников по квантовой механике.
Для обсуждения концептуальных аспектов и сравнения с классическими состояниями см .:
- Ишем, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Imperial College Press . ISBN 978-1-86094-001-9.
Для более подробного освещения математических аспектов см .:
- Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.В частности, см. Разд. 2.3.
Для обсуждения очистки смешанных квантовых состояний см. Главу 2 лекций Джона Прескилла по физике 219 в Калифорнийском технологическом институте.
Для обсуждения геометрических аспектов см .:
- Бенгтссон I; Yczkowski K (2006). Геометрия квантовых состояний . Кембридж: Издательство Кембриджского университета., второе, исправленное издание (2017 г.)