Атом водорода

Атом водорода,  ¹ H

Общий
Символ	1 ч
Имена	атом водорода, H-1, протий, ¹H
Протоны	1
Нейтронов	0
Данные о нуклидах
Природное изобилие	99,985%
Изотопная масса	1.007825 ед.
Вращение	1/2
Избыточная энергия	7288,969 ± 0,001 кэВ
Связующая энергия	0,000 ± 0,0000 кэВ
Изотопы водорода Полная таблица нуклидов

Изображение атома водорода, диаметр которого примерно в два раза больше радиуса модели Бора . (Изображение не в масштабе)

Атом водорода представляет собой атом из химического элемента водорода . Электрически нейтральный атом содержит один положительно заряженный протон и один отрицательно заряженный электрон , связанный с ядром с помощью силы Кулона . Атомарный водород составляет около 75% от барионной массы Вселенной. ^[1]

В повседневной жизни на Земле изолированные атомы водорода (называемые «атомарным водородом») встречаются крайне редко. Вместо этого атом водорода имеет тенденцию объединяться с другими атомами в соединениях или с другим атомом водорода с образованием обычного ( двухатомного ) водородного газа, H ₂ . «Атомарный водород» и «атом водорода» в обычном английском языке имеют перекрывающиеся, но разные значения. Например, молекула воды содержит два атома водорода, но не содержит атомарного водорода (который относится к изолированным атомам водорода).

Атомная спектроскопия показывает, что существует дискретный бесконечный набор состояний, в которых может существовать атом водорода (или любой другой), вопреки предсказаниям классической физики . Попытки разработать теоретическое понимание состояний атома водорода были важны для истории квантовой механики , поскольку все остальные атомы можно примерно понять, зная подробно об этой простейшей атомной структуре.

Изотопы [ править ]

Самый распространенный изотоп , водород-1 , протий или легкий водород , не содержит нейтронов и представляет собой просто протон и электрон . Протий стабилен и составляет 99,985% встречающихся в природе атомов водорода. ^[2]

Дейтерий содержит в своем ядре один нейтрон и один протон. Дейтерий стабилен и составляет 0,0156% встречающегося в природе водорода ^[2] и используется в таких промышленных процессах, как ядерные реакторы и ядерный магнитный резонанс .

Тритий содержит два нейтрона и один протон в своем ядре и не является стабильным, распадаясь с периодом полураспада 12,32 года. Из-за своего короткого периода полураспада тритий не существует в природе, кроме как в следовых количествах.

Более тяжелые изотопы водорода создаются только искусственно в ускорителях частиц и имеют период полураспада порядка 10 ^-22 секунды. Это несвязанные резонансы, расположенные за линией схода нейтронов ; это приводит к мгновенному испусканию нейтрона .

Приведенные ниже формулы действительны для всех трех изотопов водорода, но для каждого изотопа водорода должны использоваться немного разные значения постоянной Ридберга (корректирующая формула, приведенная ниже).

Ион водорода [ править ]

Одинокие нейтральные атомы водорода в нормальных условиях встречаются редко. Однако нейтральный водород является обычным явлением, когда он ковалентно связан с другим атомом, и атомы водорода также могут существовать в катионных и анионных формах.

Если нейтральный атом водорода теряет свой электрон, он становится катионом. Образующийся ион, который состоит исключительно из протона для обычного изотопа, обозначается как «H ⁺ » и иногда называется гидроном . Свободные протоны распространены в межзвездной среде и солнечном ветре . В контексте водных растворов классических кислот Бренстеда – Лоури , таких как соляная кислота , на самом деле имеется в виду гидроксоний , H ₃ O ⁺ . Вместо того, чтобы образоваться буквально ионизированный одиночный атом водорода, кислота переводит водород в H ₂ O, образуя H ₃ O.⁺ .

Если вместо этого атом водорода получает второй электрон, он становится анионом. Анион водорода записываются как «H ^- » и под названием гидрид .

Теоретический анализ [ править ]

Атом водорода имеет особое значение в квантовой механике и квантовой теории поля как простая физическая система задачи двух тел , которая дала множество простых аналитических решений в замкнутой форме.

Неудачное классическое описание [ править ]

Эксперименты по Ernest Rutherford в 1909 году показали структуру атома быть плотным, положительное ядром с разреженным облаком отрицательного заряда вокруг него. Это сразу вызвало вопросы о том, как такая система может быть стабильной. Классический электромагнетизм показал, что любой ускоряющий заряд излучает энергию, как показывает формула Лармора . Если предположить, что электрон вращается по идеальному кругу и непрерывно излучает энергию, он будет быстро закручиваться в ядро ​​со временем падения: ^[3]

${\ displaystyle t _ {\ text {fall}} \ приблизительно {\ frac {a_ {0} ^ {3}} {4r_ {0} ^ {2} c}} \ приблизительно 1,6 \ times 10 ^ {- 11} { \ text {s}},}$

где это радиус Бора и представляет собой классический радиус электрона . Если бы это было правдой, все атомы мгновенно разрушились бы, однако атомы кажутся стабильными. Кроме того, спираль, направленная внутрь, будет выделять размытие электромагнитных частот по мере уменьшения орбиты. Вместо этого было замечено, что атомы испускают только дискретные частоты излучения. Решение лежит в развитии квантовой механики .${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle r_ {0}}$

Модель Бора – Зоммерфельда [ править ]

В 1913 году Нильс Бор получил уровни энергии и спектральные частоты атома водорода, сделав ряд простых предположений, чтобы исправить неудавшуюся классическую модель. Предположения включали:

1. Электроны могут находиться только на определенных дискретных круговых орбитах или в стационарных состояниях , тем самым имея дискретный набор возможных радиусов и энергий.
2. Электроны не излучают излучения, находясь в одном из этих стационарных состояний.
3. Электрон может набирать или терять энергию, перепрыгивая с одной дискретной орбиты на другую.

Бор предположил, что угловой момент электрона квантован с возможными значениями:

${\ Displaystyle L = п \ hbar}$ куда ${\ Displaystyle п = 1,2,3, \ ldots}$

и является постоянной Планка над . Он также предположил, что центростремительная сила, удерживающая электрон на его орбите, обеспечивается кулоновской силой , и что энергия сохраняется. Бор вывел энергию каждой орбиты атома водорода следующим образом: ^[4]${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},}$

где - масса электрона , - заряд электрона , - диэлектрическая проницаемость вакуума и - квантовое число (теперь известное как главное квантовое число ). Предсказания Бора соответствовали экспериментам по измерению спектральных рядов водорода с первым порядком, придавая больше уверенности теории, в которой использовались квантованные значения.${\displaystyle m_{e}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle n}$

Для значения${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}}$^[5]

называется ридберговской единицей энергии. Это связано с постоянной Ридберга в атомной физике по${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.}$

Точное значение постоянной Ридберга предполагает, что ядро ​​бесконечно массивно по отношению к электрону. Для водорода-1, водорода-2 ( дейтерия ) и водорода-3 ( трития ), которые имеют конечную массу, константа должна быть немного изменена, чтобы использовать приведенную массу системы, а не просто массу электрона. Это включает в себя кинетическую энергию ядра в задаче, потому что полная (электронная плюс ядерная) кинетическая энергия эквивалентна кинетической энергии приведенной массы, движущейся со скоростью, равной скорости электрона относительно ядра. Однако, поскольку ядро ​​намного тяжелее электрона, масса электрона и приведенная масса почти одинаковы. Постоянная Ридберга R _Mдля атома водорода (один электрон) R определяется как

${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},}$

где - масса атомного ядра. Для водорода-1 это количество составляет примерно 1/1836 (т.е. массовое отношение электрона к протону). Для дейтерия и трития отношения составляют примерно 1/3670 и 1/5497 соответственно. Эти цифры, при добавлении к 1 в знаменателе, представляют очень небольшие поправки в значении R и, следовательно, только небольшие поправки ко всем уровням энергии в соответствующих изотопах водорода.${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{\text{e}}/M,}$

С моделью Бора все еще были проблемы:

1. он не смог предсказать другие спектральные детали, такие как тонкая структура и сверхтонкая структура
2. он мог предсказывать уровни энергии с любой точностью только для одноэлектронных атомов (водородоподобных атомов)
3. предсказанные значения были правильными только до , где - постоянная тонкой структуры .${\displaystyle \alpha ^{2}\approx 10^{-5}}$${\displaystyle \alpha }$

Большинство этих недостатков было устранено с помощью модификации модели Бора Арнольдом Зоммерфельдом . Зоммерфельд ввел две дополнительные степени свободы, позволяющие электрону двигаться по эллиптической орбите, характеризующейся его эксцентриситетом и наклонением относительно выбранной оси. При этом были введены два дополнительных квантовых числа, которые соответствуют орбитальному угловому моменту и его проекции на выбранную ось. Таким образом была найдена правильная множественность состояний (за исключением множителя 2, учитывающего еще неизвестный спин электрона). Далее, применяя специальную теорию относительностиЧто касается эллиптических орбит, Зоммерфельду удалось получить правильное выражение для тонкой структуры спектров водорода (которое оказывается в точности таким же, как в наиболее сложной теории Дирака). Однако некоторые наблюдаемые явления, такие как аномальный эффект Зеемана , остались необъясненными. Эти вопросы были решены с полным развитием квантовой механики и уравнения Дирака . Часто утверждают, что уравнение Шредингерапревосходит теорию Бора – Зоммерфельда в описании атома водорода. Это не так, поскольку большинство результатов обоих подходов совпадают или очень близки (замечательным исключением является проблема атома водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях, которая не может быть решена самосогласованно в рамках теории Бора– Теория Зоммерфельда), и в обеих теориях основные недостатки связаны с отсутствием спина электрона. Полная неспособность теории Бора – Зоммерфельда объяснить многоэлектронные системы (такие как атом гелия или молекула водорода) продемонстрировала ее неадекватность для описания квантовых явлений.

Уравнение Шредингера [ править ]

Уравнение Шредингера позволяет рассчитывать стационарные состояния, а также временную эволюцию квантовых систем. Для нерелятивистского атома водорода доступны точные аналитические ответы. Прежде чем мы перейдем к представлению формального отчета, мы дадим элементарный обзор.

Учитывая, что атом водорода содержит ядро ​​и электрон, квантовая механика позволяет предсказать вероятность обнаружения электрона на любом заданном радиальном расстоянии . Он задается квадратом математической функции, известной как «волновая функция», которая является решением уравнения Шредингера. Состояние равновесия атома водорода с наименьшей энергией известно как основное состояние. Волновая функция основного состояния известна как волновая функция. Он записывается как:${\displaystyle r}$${\displaystyle 1\mathrm {s} }$

${\displaystyle \psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}.}$

Здесь - числовое значение радиуса Бора. Плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии в любом радиальном направлении - это квадрат волновой функции:${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle |\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}e^{-2r/a_{0}}.}$

Волновое сферический симметрично, а площадь поверхности оболочки на расстоянии это , так что полная вероятность электронных существ в оболочке на расстоянии и толщинах является${\displaystyle 1\mathrm {s} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle 4\pi r^{2}}$${\displaystyle P(r)\,dr}$${\displaystyle r}$${\displaystyle dr}$

${\displaystyle P(r)\,dr=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,dr.}$

Получается, что это максимум у . То есть картина Бора электрона, вращающегося вокруг ядра по радиусу , восстанавливается как статистически достоверный результат. Однако, хотя электрон, скорее всего, находится на орбите Бора, существует конечная вероятность того, что электрон может быть в любом другом месте , с вероятностью, указанной квадратом волновой функции. Поскольку вероятность найти электрон где-нибудь во всем объеме равна единице, интеграл от равен единице. Тогда мы говорим, что волновая функция правильно нормирована.${\displaystyle r=a_{0}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle P(r)\,dr}$

Как обсуждается ниже, основное состояние также указывается квантовыми числами . Второй младшие энергетические состояния, чуть выше основного состояния, определяются квантовыми числами , и . Эти государства все имеют одинаковую энергию и известны как и государства. Есть одно состояние:${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ ${\displaystyle (n=1,\ell =0,m=0)}$${\displaystyle (2,0,0)}$${\displaystyle (2,1,0)}$${\displaystyle (2,1,\pm 1)}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle 2\mathrm {s} }$${\displaystyle 2\mathrm {p} }$${\displaystyle 2\mathrm {s} }$

${\displaystyle \psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)e^{-r/2a_{0}},}$

и есть три состояния:${\displaystyle 2\mathrm {p} }$

${\displaystyle \psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle \psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~e^{\pm i\varphi }.}$

Электрон в состоянии или, скорее всего, находится на второй боровской орбите с энергией, определяемой формулой Бора.${\displaystyle 2\mathrm {s} }$${\displaystyle 2\mathrm {p} }$

Волновая функция [ править ]

Гамильтониан атома водорода радиальная оператор кинетической энергии и Кулона сила притяжения между положительным и отрицательным протоном электрона. Используя не зависящее от времени уравнение Шредингера, игнорируя все взаимодействия спиновой связи и используя приведенную массу , уравнение записывается как:${\displaystyle \mu =m_{e}M/(m_{e}+M)}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}$

Разложив лапласиан по сферическим координатам:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }$

Это разъемное , дифференциальное уравнение , которое может быть решено в терминах специальных функций. Когда волновая функция разделяется как произведение функций и появляются три независимые дифференциальные функции ^[6], являющиеся константами разделения A и B:${\displaystyle R(r),\,\Theta (\theta )}$${\displaystyle \Phi (\varphi )}$

радиальный: ${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}r}}\left(r^{2}{\frac {{\rm {d}}R}{{\rm {d}}r}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}$

полярный: ${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\theta }}\left(\sin \theta {\frac {{\rm {d}}\Theta }{{\rm {d}}\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}$

азимут: ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {{\rm {d}}^{2}\Phi }{{\rm {d}}\varphi ^{2}}}+B=0.}$

Нормированные волновые функции положения в сферических координатах :

${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

Трехмерная иллюстрация собственного состояния . Вероятность обнаружения электронов в этом состоянии в показанном твердом теле составляет 45%.${\displaystyle \psi _{4,3,1}}$

куда:

${\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}}$,

${\displaystyle a_{0}^{*}}$это уменьшить радиус Бора , ,${\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}}$

${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}$является обобщенным многочленом Лагерра степени , а${\displaystyle n-\ell -1}$

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$является сферической гармонической функцией степени и порядка . Отметим, что обобщенные полиномы Лагерра по-разному определяются разными авторами. Использование здесь согласуется с определениями, используемыми Messiah, ^[7] и Mathematica. ^[8] В других местах полином Лагерра включает множитель , ^[9] или вместо него обобщенный полином Лагерра, фигурирующий в волновой функции водорода . ^[10]${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle (n+\ell )!}$${\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}$

Квантовые числа могут принимать следующие значения:

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$( главное квантовое число )

${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots ,n-1}$( азимутальное квантовое число )

${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,\ell }$( магнитное квантовое число ).

Кроме того, эти волновые функции нормированы (т. Е. Интеграл от их квадрата модуля равен 1) и ортогональны :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},}$

где - состояние, представленное волновой функцией в обозначениях Дирака , а - дельта- функция Кронекера . ^[11]${\displaystyle |n,\ell ,m\rangle }$${\displaystyle \psi _{n\ell m}}$${\displaystyle \delta }$

Волновые функции в импульсном пространстве связаны с волновыми функциями в позиционном пространстве через преобразование Фурье.

${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int e^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,}$

что для связанных состояний приводит к ^[12]

${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),}$

где обозначает многочлен Гегенбауэра и выражается в единицах .${\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}$

Решения уравнения Шредингера для водорода являются аналитическими , дающими простое выражение для уровней энергии водорода и, следовательно, частот спектральных линий водорода, и полностью воспроизводят модель Бора и выходят за ее рамки. Он также дает два других квантовых числа и форму волновой функции электрона («орбиталь») для различных возможных квантово-механических состояний, что объясняет анизотропный характер атомных связей.

Уравнение Шредингера применимо также к более сложным атомам и молекулам . Когда имеется более одного электрона или ядра, решение не является аналитическим, и необходимы либо компьютерные вычисления, либо упрощающие предположения.

Поскольку уравнение Шредингера справедливо только для нерелятивистской квантовой механики, решения, которые оно дает для атома водорода, не совсем верны. Уравнение Дирака релятивистской квантовой теории улучшает эти решения (см. Ниже).

Результаты уравнения Шредингера [ править ]

Решение уравнения Шредингера (волновое уравнение) для атома водорода использует тот факт, что кулоновский потенциал, создаваемый ядром, изотропен (он радиально симметричен в пространстве и зависит только от расстояния до ядра). Несмотря на то, что в результате энергии собственных функции (в орбитали ) не обязательно являются изотропными самим по себе, их зависимости от угловых координат следует полностью как правило , из этой изотропии основного потенциала: от собственных состояний в гамильтониана (то есть, энергетические уровни) может быть выбрана в качестве одновременного собственные состояния оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Таким образом, энергетические уровни могут быть классифицированы по двум угловым моменту квантовых чисел , и (оба представляют собой целые числа). Квантовое число углового момента определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) ось.${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,+\ell }$${\displaystyle z}$

Помимо математических выражений для полного углового момента и проекции углового момента волновых функций, необходимо найти выражение для радиальной зависимости волновых функций. Только здесь , что детали кулоновского потенциала ввода ( что приводит к полиномам Лагерра в ). Это приводит к третьему квантовому числу, главному квантовому числу . Главное квантовое число в водороде связано с полной энергией атома.${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Обратите внимание, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено главным квантовым числом: оно может достигать , т . Е., .${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \ell =0,1,\ldots ,n-1}$

Из-за сохранения углового момента состояния одного и того же, но разных состояний имеют одинаковую энергию (это верно для всех задач с вращательной симметрией ). Кроме того, для атома водорода одинаковые, но разные состояния также вырождены (т. Е. Имеют одинаковую энергию). Однако это специфическое свойство водорода, которое больше не верно для более сложных атомов, у которых (эффективный) потенциал отличается от формы (из-за наличия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра).${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle 1/r}$

Принимая во внимание спин электрона, добавляется последнее квантовое число, проекция спинового углового момента электрона на ось -ось, которая может принимать два значения. Следовательно, любое собственное состояние электрона в атоме водорода полностью описывается четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это также объясняет, почему выбор оси для направленного квантования вектора углового момента несущественен: орбиталь задана и получена для другой предпочтительной оси.${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m'}$${\displaystyle z'}$всегда можно представить как подходящую суперпозицию различных состояний разных (но одинаковых ), которые были получены для .${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle z}$

Математическая сводка собственных состояний атома водорода [ править ]

В 1928 году Поль Дирак нашел уравнение , полностью совместимое со специальной теорией относительности , и (как следствие) сделал волновую функцию четырехкомпонентным « спинором Дирака », включающим «верхнюю» и «нижнюю» компоненты спина, как с положительными, так и с отрицательными характеристиками отрицательная «энергия» (или материя и антивещество). Решение этого уравнения дало следующие результаты, более точные, чем решение Шредингера.

Уровни энергии [ править ]

Уровни энергии водорода, включая тонкую структуру (исключая лэмбовский сдвиг и сверхтонкую структуру ), задаются выражением для тонкой структуры Зоммерфельда : ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}}$

где есть постоянная тонкой структуры и представляет собой полный угловой момент квантовое число , которое равно , в зависимости от ориентации спина электрона относительно орбитального углового момента. ^[14] Эта формула представляет собой небольшую поправку к энергии, полученной Бором и Шредингером, как указано выше. Множитель в квадратных скобках в последнем выражении почти равен единице; дополнительный член возникает из-за релятивистских эффектов (подробнее см. #Features, выходящие за рамки решения Шредингера ). Стоит отметить, что это выражение было впервые получено А. Зоммерфельдом в 1916 г. на основе релятивистской версии старой теории Бора.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|}$. Однако Зоммерфельд использовал другие обозначения для квантовых чисел.

Когерентные состояния [ править ]

В когерентных состояниях были предложены в ^[15]

${\displaystyle |s,\gamma ,{\bar {\Omega }}\rangle \equiv M(s^{2})\sum _{n=0}^{\infty }(s^{n}e^{i\gamma /(n+1)^{2}}/{\sqrt {\rho _{n}}})|n,{\bar {\Omega }}\rangle ,}$

который удовлетворяет и принимает вид${\displaystyle d{\bar {\Omega }}\equiv \sin {\bar {\theta }}\,d{\bar {\theta }}\,d{\bar {\varphi }}\,d{\bar {\psi }}/8\pi ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r,\theta ,\varphi \mid s,\gamma ,{\bar {\Omega }}\rangle ={}&e^{-s^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }(s^{n}e^{i\gamma /(n+1)^{2}}/{\sqrt {n!}})\\&{}\times \,\sum _{\ell =0}^{n}u_{n+1}^{\ell }(r)\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[{\frac {(2\ell )!}{(\ell +m)!(\ell -m)!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\bar {\theta }}{2}}\right)^{\ell -m}\left(\cos {\frac {\bar {\theta }}{2}}\right)^{\ell +m}\\&{}\times \,e^{-i(m{\bar {\varphi }}+\ell {\bar {\psi }})}Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ){\sqrt {2\ell +1}}.\end{aligned}}}$

Визуализация водородных электронных орбиталей [ править ]

На изображении справа показаны первые несколько орбиталей атома водорода (собственные энергетические функции). Это сечения плотности вероятности, которые обозначены цветом (черный означает нулевую плотность, а белый - самую высокую плотность). Угловой момент (орбитальное) квантовое число ℓ обозначается в каждой колонке, используя обычные спектроскопические буквенный код ( ы средства ℓ  = 0, р означает л  = 1, D означает ℓ  = 2). Основное (главное) квантовое число n (= 1, 2, 3, ...) отмечено справа от каждой строки. Для всех картинок магнитное квантовое число mбыл установлен на 0, а плоскость поперечного сечения - это плоскость xz ( z - вертикальная ось). Плотность вероятности в трехмерном пространстве получается вращением показанной здесь оси вокруг оси z .

« Основное состояние », то есть состояние самой низкой энергии, в котором электрон обычно находится, является первым, 1 сек состояние ( главного квантового уровня п = 1, ℓ = 0).

Черные линии встречаются на каждой орбите, кроме первой: это узлы волновой функции, то есть там, где плотность вероятности равна нулю. (Точнее, узлы представляют собой сферические гармоники , возникающие в результате решения уравнения Шредингера в сферических координатах.)

В квантовых числах определяют расположение этих узлов. ^[16] Есть:

• ${\displaystyle n-1}$ всего узлов,
• ${\displaystyle \ell }$ из них угловые узлы:
  • ${\displaystyle m}$угловые узлы идут вокруг оси (в плоскости xy ). (На рисунке выше эти узлы не показаны, поскольку на нем показаны поперечные сечения через плоскость xz .)${\displaystyle \varphi }$
  • ${\displaystyle \ell -m}$(остальные угловые узлы) располагаются на (вертикальной) оси.${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle n-\ell -1}$ (остальные неугловые узлы) являются радиальными узлами.

Особенности, выходящие за рамки решения Шредингера [ править ]

Есть несколько важных эффектов, которые не учитываются уравнением Шредингера и которые ответственны за некоторые небольшие, но измеримые отклонения реальных спектральных линий от предсказанных:

• Хотя средняя скорость электрона в водороде составляет всего 1/137 скорости света , многие современные эксперименты достаточно точны, поэтому полное теоретическое объяснение требует полностью релятивистского подхода к проблеме. Релятивистская трактовка приводит к увеличению импульса электрона примерно на 1 часть к 37000. Поскольку длина волны электрона определяется его импульсом, орбитали, содержащие электроны с более высокой скоростью, сжимаются из-за меньших длин волн.
• Даже при отсутствии внешнего магнитного поля в инерциальной системе отсчета движущегося электрона электромагнитное поле ядра имеет магнитную составляющую. Спин электрона имеет связанный магнитный момент, который взаимодействует с этим магнитным полем. Этот эффект также объясняется специальной теории относительности, и это приводит к так называемой спин-орбитальной связи , то есть, взаимодействие между электроном «ами орбитального движения вокруг ядра, и его спина .

Обе эти особенности (и многие другие) включены в релятивистское уравнение Дирака с предсказаниями, которые еще ближе подходят к эксперименту. Опять же, уравнение Дирака может быть решено аналитически в частном случае системы двух тел, такой как атом водорода. Полученные квантовые состояния решения теперь должны быть классифицированы по полному угловому моменту j (возникающему из-за связи между спином электрона и орбитальным угловым моментом ). Состояния одного и того же j и того же n по-прежнему вырождены. Таким образом, прямое аналитическое решение уравнения Дирака предсказывает 2S (1/2) и 2P (1/2) уровни водорода должны иметь одинаковую энергию, что противоречит наблюдениям ( эксперимент Лэмба – Ретерфорда ).

• Есть всегда флуктуации вакуума по электромагнитному полю , согласно квантовой механике. Из-за таких флуктуаций снимается вырождение между состояниями одного и того же j, но различного l , что придает им немного разные энергии. Это было продемонстрировано в знаменитом эксперименте Лэмба – Ретерфорда и явилось отправной точкой для развития теории квантовой электродинамики (которая способна иметь дело с этими флуктуациями вакуума и использует знаменитые диаграммы Фейнмана для приближений с использованием теории возмущений ). Этот эффект теперь называется лэмбовским сдвигом .

Для этих разработок было важно, чтобы решение уравнения Дирака для атома водорода могло быть получено точно, так что любое экспериментально наблюдаемое отклонение должно было восприниматься серьезно как сигнал несостоятельности теории.

Альтернативы теории Шредингера [ править ]

На языке матричной механики Гейзенберга атом водорода был впервые решен Вольфгангом Паули ^[17] с использованием вращательной симметрии в четырех измерениях [O (4) -симметрия], порожденной угловым моментом и вектором Лапласа – Рунге – Ленца . Расширяя группу симметрий O (4) до динамической группы O (4,2), весь спектр и все переходы были вложены в одно неприводимое представление группы. ^[18]

В 1979 годе (нерелятивистский) атом водород был решен в первый раз в фейнмановском пути интегральной формулировки в квантовой механике по Дуру и Kleinert. ^{[19] [20]} Эта работа значительно расширила область применимости метода Фейнмана .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . ISBN 0-13-111892-7. В разделе 4.2 рассматривается конкретно атом водорода, но важна вся глава 4.
• Кляйнерт, Х. (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, Worldscibooks.com , World Scientific, Сингапур (также доступно в Интернете Physik.fu-berlin.de )

Внешние ссылки [ править ]

• Физика атома водорода на Scienceworld
• Орбитали атома водорода в c ++ и визуализация на python