Картинка взаимодействия

Квантовая механика
Часть серии по
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}\|\psi (t)\rangle$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике , то картина взаимодействия (также известная как картина Дирака после Поля Дирака ) является промежуточным представлением между картиной Шредингера и Гейзенбергом . В то время как на двух других изображениях либо вектор состояния, либо операторы несут временную зависимость, в картине взаимодействия оба несут часть временной зависимости наблюдаемых . ^[1] Картина взаимодействия полезна при работе с изменениями волновых функций и наблюдаемых из-за взаимодействий. Большинство теоретико-полевых расчетов ^[2] используют представление взаимодействия, потому что они строят решение уравнения Шредингера для многих тел как решение проблемы свободных частиц плюс некоторые неизвестные части взаимодействия.

Уравнения, которые включают в себя операторы, действующие в разное время, которые выполняются в картине взаимодействия, не обязательно выполняются в картине Шредингера или Гейзенберга. Это связано с тем, что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одном изображении с аналогичными операторами в другом.

Картина взаимодействия - это частный случай унитарного преобразования, применяемого к векторам гамильтониана и состояния.

Определение [ править ]

Операторы и векторы состояния в картине взаимодействия связаны изменением базиса ( унитарное преобразование ) с теми же операторами и векторами состояния в картине Шредингера.

Чтобы переключиться на картину взаимодействия, мы разделим гамильтониан картины Шредингера на две части:

$H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.$

Любой возможный выбор частей даст действительную картину взаимодействия; но для того, чтобы картина взаимодействия была полезной для упрощения анализа проблемы, части обычно выбираются так, чтобы H _{0, S было} хорошо понято и точно решаемо, в то время как H _{1, S} содержало некоторые трудные для анализа возмущения. к этой системе.

Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое изменяется во времени), обычно будет полезно включить явно зависящие от времени члены с H _{1, S} , оставляя H _{0, S не} зависит от времени. Мы продолжаем предполагать, что это так. Если это контекст , в котором оно имеет смысл иметь H _{0, S} быть в зависимости от времени, то можно продолжить, заменив соответствующий оператор временной эволюции в определениях ниже. $e^{\pm iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }$

Векторы состояний [ править ]

Позвольте быть зависящим от времени вектором состояния в картине Шредингера. Вектор состояния в картине взаимодействия определяется с помощью дополнительного зависящего от времени унитарного преобразования. ^[3] $|\psi _{\text{S}}(t)\rangle ={\text{e}}^{-iH_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle$ $|\psi _{\text{I}}(t)\rangle$

$|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .$

Операторы [ править ]

Оператор в картинке взаимодействия определяется как

$A_{\text{I}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.$

Следует отметить , что _С ( т ) , как правило , не будет зависеть от $т$ и может быть переписано как только A _S . Он зависит от $t только в том$ случае, если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего изменяющегося во времени электрического поля.

Гамильтонов оператор [ править ]

Для самого оператора картина взаимодействия и картина Шредингера совпадают: $H_{0}$

H_{0,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.

Это легко увидеть по тому факту, что операторы коммутируют с дифференцируемыми функциями самих себя. Затем этот конкретный оператор может быть вызван без двусмысленности. $H_{0}$

Для гамильтониана возмущения , однако, $H_{1,{\text{I}}}$

H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar },

где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится гамильтонианом, зависящим от времени, если только [ H _{1, S} , H _{0, S} ] = 0.

Можно также получить картину взаимодействия для зависящего от времени гамильтониана H _{0, S} ( t ), но экспоненты необходимо заменить унитарным пропагатором для эволюции, порождаемой H _{0, S} ( t ) или более. явно с упорядоченным по времени экспоненциальным интегралом.

Матрица плотности [ править ]

Матрица плотности может быть показано , что преобразование к картине взаимодействия таким же образом , как и любой другой оператор. В частности, пусть $ρ I$ и $ρ S$ - матрицы плотности в картине взаимодействия и картине Шредингера соответственно. Если есть вероятность $p n$ находиться в физическом состоянии | ψ _n〉, то

\rho _{\text{I}}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\rangle \langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\rangle \langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.

Временная эволюция [ править ]

Временная эволюция состояний [ править ]

Преобразование уравнения Шредингера в картину взаимодействия дает

i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,

который гласит, что в картине взаимодействия квантовое состояние развивается за счет взаимодействия части гамильтониана, как выражено в картине взаимодействия. ^[4]

Доказательство ^[5]

Начнем с производной по времени волновой функции картины взаимодействия

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(e^{i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle \right)={\text{-}}{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}e^{i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +e^{i{\hat {H}}_{0,{\text{I}}}t/\hbar }i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =

Здесь мы используем временную независимость невозмущенного гамильтониана , заметим, что производная экспоненты также немного формально нечеткая, фактически она является производной оператора, а не функции ${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}=0$

=e^{i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }[{\text{-}}{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}+{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}+{\hat {H}}_{1,{\text{S}}}]e^{{\text{-}}i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }{\hat {H}}_{1,{\text{S}}}e^{{\text{-}}i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\hat {H}}_{1,{\text{I}}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle

Где мы определяем:

{\hat {H}}_{1,{\text{I}}}(t)\equiv e^{i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }{\hat {H}}_{1,{\text{S}}}e^{{\text{-}}i{\hat {H}}_{0,{\text{S}}}t/\hbar }

Таким образом, в итоге:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\hat {H}}_{1,{\text{I}}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle

Важно отметить, что это доказательство справедливо также в случае, когда и где возмущение может зависеть от времени . $[{\hat {H}}_{0,{\text{S}}},{\hat {H}}_{1,{\text{S}}}]\neq 0$ ${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {H}}_{1,{\text{S}}}\neq 0$

Последнее замечание: это справедливо в рамках нерелятивистской квантовой механики, учитывая, что пространство волновой функции картины взаимодействия и пространство волновой функции картины Шредингера унитарно эквивалентны, т. Е. Правило определения гамильтониана во взаимодействии Картинка относится к типу, где U унитарно, т. е. эвристически два пространства в этом контексте изоморфны. Это не так в релятивистском случае, и это изучается в теореме Хаага . $O_{2}=UO_{1}U^{-1}$

Временная эволюция операторов [ править ]

Если оператор A _{S не} зависит от времени (т. Е. Не имеет «явной зависимости от времени»; см. Выше), то соответствующая временная эволюция для A _I ( t ) определяется выражением

i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].

В картине взаимодействия операторы эволюционируют во времени, как операторы в картине Гейзенберга с гамильтонианом $H' = H 0$ .

Временная эволюция матрицы плотности [ править ]

Эволюция матрицы плотности в картине взаимодействия:

i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],

в соответствии с уравнением Шредингера в картине взаимодействия.

Ожидаемые значения [ править ]

Для общего оператора математическое ожидание в картине взаимодействия дается выражением $A$

\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .

Используя выражение матрицы плотности для математического ожидания, мы получим

\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.

Уравнение Швингера-Томонага [ править ]

Термин «представление взаимодействия» был изобретен Швингером ^[6]^[7]. В этом новом смешанном представлении вектор состояния больше не является постоянным в целом, но он постоянен, если нет связи между полями. Изменение представления приводит непосредственно к уравнению Томонага-Швингера: ^[8]^[7]

ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )

{\hat {H}}(x)={\text{-}}{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)

Где гамильтониан в этом случае является гамильтонианом взаимодействия КЭД, но он также может быть типичным взаимодействием и представляет собой поверхность, подобную пространству, которая проходит через точку . Производная формально представляет собой изменение этой фиксированной поверхности . Трудно дать точную математическую формальную интерпретацию этого уравнения. ^[9] $\sigma$ $x$ $x$

Этот подход Швингер назвал дифференциально-полевым подходом в отличие от интегрального и частичного подхода диаграмм Фейнмана. ^[10]

Основная идея состоит в том, что если взаимодействие имеет небольшую константу связи (то есть в случае электромагнетизма порядка постоянной тонкой структуры), последовательные пертурбативные члены будут степенями константы связи и, следовательно, меньше. ^[11]

Используйте [ редактировать ]

Цель картины взаимодействия - переложить всю временную зависимость, обусловленную H _0, на операторы, тем самым позволяя им развиваться свободно, и оставляя только H _{1, I} для управления временной эволюцией векторов состояния.

Картина взаимодействия удобна при рассмотрении влияния на срок малого взаимодействия, Н _{1, S} , добавляется к гамильтониану решаемой системы, H _{0, S} . Используя картину взаимодействия, можно использовать зависимое от времени теории возмущений , чтобы найти эффект H _{1, I} , ^[12]^{: 355ff} например, при выводе золотого правила Ферми , ^[12]^{: 359-363} или Dyson серии ^[12]^{: 355–357} в квантовой теории поля : в 1947 г. Синьитиро Томонага иДжулиан Швингер оценил, что ковариантная теория возмущений может быть элегантно сформулирована в картине взаимодействия, поскольку операторы поля могут эволюционировать во времени как свободные поля, даже при наличии взаимодействий, которые теперь рассматриваются пертурбативно в таком ряду Дайсона.

Сводное сравнение эволюции на всех фотографиях [ править ]

Для не зависящего от времени гамильтониана H _S , где H _{0, S} - свободный гамильтониан,

Эволюция	Изображение ( v т е )
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кетское государство	постоянный	$\|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$	$\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$
Наблюдаемый	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$	постоянный
Матрица плотности	постоянный	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$

Ссылки [ править ]

↑ Альберт Мессия (1966). Квантовая механика , Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; Дж. Дж. Сакураи (1994). Современная квантовая механика (Аддисон-Уэсли) ISBN 9780201539295 .
^ JW Негеле, Х. Орланд (1988), Квантовые системы многих частиц, ISBN 0738200522 .
^ The Interaction Picture , конспекты лекций Нью-Йоркского университета.
^ Квантовая теория поля для одаренного любителя, глава 18 - для тех, кто видел, что это называется уравнением Швингера-Томонаги, это не уравнение Швингера-Томонага. Это обобщение уравнения Шредингера на произвольные пространственно-подобные слоения пространства-времени.
^ Феттер & Walecka 1971 , стр. 55
↑ Schwinger, J. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Dover, p. 151, ISBN 0-486-60444-6
^ a b Швингер Дж. (1948), "Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка". , Physical Review , 74 (10): 1439–1461.
↑ Schwinger, J. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Dover, p. 151 163 170 276, ISBN 0-486-60444-6
^ Wakita, Хитоси (1976), "Интеграция Tomonaga-швингеровского уравнения", связи в математической физике , 50 : 6-8
^ Швингер и Фейнман
↑ Schwinger, J. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Dover, p. 152, ISBN 0-486-60444-6
^ a b c Сакураи, JJ; Наполитано, Джим (2010), Современная квантовая механика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0805382914

Л. Д. Ландау ; Е. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. Интернет-копия

Таунсенд, Джон С. (2000). Современный подход к квантовой механике, 2-е изд . Саусалито, Калифорния: Научные книги университета. ISBN 1-891389-13-0.

См. Также [ править ]

Обозначение Бра – Кет
Уравнение Шредингера
Теорема Хаага

[1] Альберт Мессия (1966). Квантовая механика , Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; Дж. Дж. Сакураи (1994). Современная квантовая механика (Аддисон-Уэсли) ISBN 9780201539295 .

[2] JW Негеле, Х. Орланд (1988), Квантовые системы многих частиц, ISBN 0738200522 .

[3] The Interaction Picture , конспекты лекций Нью-Йоркского университета.

[4] Квантовая теория поля для одаренного любителя, глава 18 - для тех, кто видел, что это называется уравнением Швингера-Томонаги, это не уравнение Швингера-Томонага. Это обобщение уравнения Шредингера на произвольные пространственно-подобные слоения пространства-времени.

[:1-5] Феттер & Walecka 1971 , стр. 55

[Schwinger-6] Schwinger, J. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Dover, p. 151, ISBN 0-486-60444-6

[Schwinger0-7] Швингер Дж. (1948), "Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка". , Physical Review , 74 (10): 1439–1461.

[Schwinger1-8] Schwinger, J. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Dover, p. 151 163 170 276, ISBN 0-486-60444-6

[Wakita1976-9] Wakita, Хитоси (1976), "Интеграция Tomonaga-швингеровского уравнения", связи в математической физике , 50 : 6-8

[10] Швингер и Фейнман

[Schwinger2-11] Schwinger, J. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Dover, p. 152, ISBN 0-486-60444-6

[Sakurai-12] Сакураи, JJ; Наполитано, Джим (2010), Современная квантовая механика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0805382914