Картинка Гейзенберга

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В физике , то картина Гейзенберга (также называется представлением Гейзенберга ^[1] ) является препарат ( в основном из - за Вернер Гейзенберг в 1925 году) из квантовой механики , в которой операторы ( наблюдаемые и другие) включают зависимость от времени, но векторы состояния не зависят от времени, это произвольный фиксированный базис, прочно лежащий в основе теории.

Это контрастирует с картиной Шредингера, в которой операторы постоянны, а состояния развиваются во времени. Эти две картинки отличаются только базисным изменением в зависимости от времени, что соответствует разнице между активными и пассивными преобразованиями . Картина Гейзенберга - это формулировка матричной механики в произвольном базисе, в которой гамильтониан не обязательно диагонален.

Кроме того, он служит для определения третьей, гибридной картинки, картины взаимодействия .

Математические детали [ править ]

В гейзенберговской картине квантовой механики векторы состояния | ψ〉 не изменяются со временем, а наблюдаемые A удовлетворяют

где «H» и «S» обозначают наблюдаемые в картинках Гейзенберга и Шредингера соответственно, H - гамильтониан, а [•, •] обозначает коммутатор двух операторов (в данном случае H и A ). Принятие математических ожиданий автоматически приводит к теореме Эренфеста , содержащейся в принципе соответствия .

По теореме Стоуна – фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера унитарно эквивалентны, просто замена базиса в гильбертовом пространстве . В некотором смысле картина Гейзенберга более естественна и удобна, чем эквивалентная картина Шредингера, особенно для релятивистских теорий. Лоренц-инвариантность проявляется в картине Гейзенберга, поскольку векторы состояния не выделяют время или пространство.

Этот подход также имеет более прямое сходство с классической физикой : простой заменой коммутатора, указанного выше, скобкой Пуассона , уравнение Гейзенберга сводится к уравнению в гамильтоновой механике .

Эквивалентность уравнения Гейзенберга уравнению Шредингера [ править ]

В целях педагогики здесь представлена ​​картина Гейзенберга из последующей, но более знакомой картины Шредингера .

Среднее значение наблюдаемой A , который представляет собой эрмиты линейного оператора , для данного состояния Шредингера | ψ ( t )〉, задается формулой

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.}$

В картине Шредингера состояние | ψ ( t )〉 в момент времени t связано с состоянием | ψ (0)〉 в момент времени 0 с помощью унитарного оператора эволюции во времени , U ( t ) ,

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

В картине Гейзенберга все векторы состояния считаются постоянными при своих начальных значениях | ψ (0)〉, тогда как операторы эволюционируют со временем согласно

${\ Displaystyle A (t): = U ^ {\ dagger} (t) AU (t) \.}$

Уравнение Шредингера для оператора временной эволюции имеет вид

${\ displaystyle {d \ over dt} U (t) = - {iH \ over \ hbar} U (t)}$

где H - гамильтониан, а ħ - приведенная постоянная Планка .

Отсюда следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}A(t)&={i \over \hbar }U^{\dagger }(t)HAU(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t)+{i \over \hbar }U^{\dagger }(t)A(-H)U(t)\\&={i \over \hbar }U^{\dagger }(t)HU(t)U^{\dagger }(t)AU(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t)-{i \over \hbar }U^{\dagger }(t)AU(t)U^{\dagger }(t)HU(t)\\&={i \over \hbar }\left(H(t)A(t)-A(t)H(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t),\end{aligned}}}$

где дифференциация проводилась по правилу продукта . Обратите внимание, что гамильтониан, который появляется в последней строке выше, является гамильтонианом Гейзенберга H ( t ), который может отличаться от гамильтониана Шредингера.

Важный частный случай приведенного выше уравнения получается, если гамильтониан не меняется со временем. Тогда оператор эволюции во времени можно записать как

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar },}$

Следовательно,

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{+iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}A(t)&={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{i \over \hbar }e^{+iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}}$

Здесь ∂ A / ∂ t - это производная по времени исходного A , а не определенного оператора A ( t ). Последнее уравнение имеет место , так как ехр (- я Н т / ч ) коммутирует с Н .

Уравнение решается с помощью A ( t ), определенного выше, что очевидно из использования стандартного операторного тождества ,

${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \ .}$

что подразумевает

${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\dots }$

Это соотношение также справедливо для классической механики , классического предела вышеизложенного, учитывая соответствие между скобками Пуассона и коммутаторами ,

${\displaystyle [A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}}$

В классической механике для A без явной зависимости от времени

${\displaystyle \{A,H\}={\frac {\operatorname {d} \!A}{\operatorname {d} \!t}}~,}$

так что снова выражение для A ( t ) является разложением Тейлора около t = 0.

По сути, произвольный жесткий базис гильбертова пространства | ψ (0)〉 ускользнул из поля зрения и рассматривается только на последнем этапе взятия определенных значений ожидания или матричных элементов наблюдаемых.

Коммутаторные отношения [ править ]

Коммутаторные соотношения могут выглядеть иначе, чем в картине Шредингера, из-за временной зависимости операторов. Например, рассмотрим операторы x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) и p ( t ₂ ) . Временная эволюция этих операторов зависит от гамильтониана системы. Рассматривая одномерный гармонический осциллятор,

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$ ,

эволюция операторов положения и импульса определяется выражением:

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}$ ,

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}$ .

Еще раз дифференцируя оба уравнения и решая их с соответствующими начальными условиями,

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}$

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}$

приводит к

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}$ ,

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$ .

Прямое вычисление дает более общие коммутаторные соотношения:

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ ,

${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ ,

${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ .

В самом деле, можно просто восстановить стандартные канонические коммутационные соотношения, действительные на всех рисунках.${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

Сводное сравнение эволюции на всех фотографиях [ править ]

Для не зависящего от времени гамильтониана H _S , где H _{0, S} - свободный гамильтониан,

Эволюция	Изображение ( v т е )
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кетское государство	постоянный	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }$
Наблюдаемый	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$	постоянный
Матрица плотности	постоянный	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$

См. Также [ править ]

• Обозначение Бра – Кет
• Картинка взаимодействия
• Картина Шредингера
• Уравнения Гейзенберга – Ланжевена
• Формулировка фазового пространства

Ссылки [ править ]

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Вайли. С. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского, сделанный Г.М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
• Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Вили, 1998) с. 430-1 ISBN 0-471-88702-1 
• Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. Интернет-копия
• Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Plenum Press, ISBN 978-0306447907 . 
• Джей Джей Сакураи (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN 978-0201539295 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку для перехода к гл. 2, чтобы найти обширное упрощенное введение в картину Гейзенберга.
• Некоторые расширенные выводы и пример гармонического осциллятора в картине Гейзенберга [1]
• Перевод оригинальной статьи Гейзенберга (хотя и трудный для чтения, он содержит пример для ангармонического осциллятора): Источники квантовой механики Б.Л. Ван дер Варден [2]
• Вычисления для атома водорода в представлении Гейзенберга первоначально из статьи Паули [3]