В математике , теорема дилатации Стайнспринга в , также называемой теореме факторизации Стайнспринга в , названной в честь У. Форрест Стайнспринга , является результатом теории оператора , который представляет любое вполне положительное отображение на С * -алгеброй в виде композиции два вполне положительных отображений , каждый из которых имеют особая форма:
- A * -представление A на некотором вспомогательном гильбертовом пространстве K, за которым следует
- Операторное отображение вида T → V * TV .
Более того, теорема Стайнспринга является структурной теоремой из C * -алгебры в алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Показано, что полностью положительные отображения являются простыми модификациями * -представлений или иногда называемыми * -гомоморфизмами .
Формулировка
В случае унитальной C * -алгебры результат будет следующим:
- Теорема . Пусть унитальная С * -алгебра, Н гильбертово пространство и В ( Н ) будут ограниченные операторы на H . За каждый полностью положительный
- существует гильбертово пространство K и унитальный * -гомоморфизм
- такой, что
- где - ограниченный оператор. Кроме того, у нас есть
Неформально можно сказать, что каждая полностью положительная карта можно « поднять » до карты вида.
Обратное утверждение тривиально верно. Таким образом, результат Stinespring классифицирует полностью положительные карты.
Эскиз доказательства
Кратко обрисуем доказательство. Позволять. Для, определять
и продлить на полу-линейности на все K . Это эрмитова полуторалинейная форма, потому чтосовместим с операцией *. Полная позитивностьзатем используется, чтобы показать, что эта полуторалинейная форма на самом деле положительно полуопределенная. Поскольку положительные полуопределенные эрмитовы полуторалинейные формы удовлетворяют неравенству Коши – Шварца, подмножество
является подпространством. Мы можем снять вырождение , рассматривая фактор-пространство . Тогда пополнение этого фактор-пространства является гильбертовым пространством, также обозначаемым через. Затем определите а также . Это можно проверить а также иметь желаемые свойства.
Заметь это только естественно алгебраическое вложение из Н в К . Можно убедиться, чтодержит. В частности так что является изометрией тогда и только тогда, когда . В этом случае H вкладывается в смысле гильбертова пространства в K и, Действующая на K , становится проекцией на H . Символически мы можем написать
На языке теории расширения это означает, чтоявляется сжатие из. Следовательно, из теоремы Стайнспринга следует, что всякое унитальное вполне положительное отображение является сжатием некоторого * -гомоморфизма .
Минимальность
Тройка ( π , V , K ) называется представлением Стайнспринга для Φ. Возникает естественный вопрос, можно ли в каком-то смысле уменьшить данное представление Стайнспринга.
Пусть K 1 - замкнутая линейная оболочка π ( A ) VH . По свойству * -представлений в общем случае K 1 является инвариантным подпространством в π ( a ) для всех a . Кроме того, K 1 содержит VH . Определять
Мы можем вычислить напрямую
и если k и ℓ лежат в K 1
Таким образом , ( π 1 , V , K 1 ) также является представление Стайнспринга Ф и обладает дополнительным свойством , что К 1 является замкнутой линейной оболочкой из П ( A ) VH . Такое представление называется минимальным представлением Стайнспринга .
Уникальность
Пусть ( π 1 , V 1 , K 1 ) и ( π 2 , V 2 , K 2 ) - два представления Стайнспринга данного Φ. Определим частичную изометрию W : K 1 → K 2 следующим образом:
На V 1 H ⊂ K 1 это дает соотношение сплетения
В частности, если оба Стайнспринга представлений являются минимальными, W является унитарным . Таким образом, минимальные представления Стайнспринга уникальны с точностью до унитарного преобразования.
Некоторые последствия
Упомянем некоторые результаты, которые можно рассматривать как следствия теоремы Стайнспринга. Исторически некоторые из приведенных ниже результатов предшествовали теореме Стайнспринга.
Строительство ГНС
Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала (ГНС) заключается в следующем. Пусть H в теореме Стайнспринга одномерно, т. Е. Комплексные числа . Таким образом , Φ теперь будет положительным линейным функционалом на А . Если мы предположим, что Φ является состоянием , т. Е. Φ имеет норму 1, то изометрия определяется
для некоторых от единичной нормы . Так
и мы восстановили представление состояний GNS. Это один из способов увидеть, что полностью положительные отображения, а не просто положительные, являются истинными обобщениями положительных функционалов .
Линейный положительный функционал на C * -алгебре является абсолютно непрерывным относительно другого такого функционала (называемого опорным функционалом), если он равен нулю на любом положительном элементе, на котором опорный положительный функционал равен нулю. Это приводит к некоммутативному обобщению теоремы Радона – Никодима . Обычный оператор плотности состояний на матричных алгебрах относительно стандартного следа есть не что иное, как производная Радона – Никодима, когда опорный функционал выбирается в качестве следа. Белавкин ввел понятие полной абсолютной непрерывности одного вполне положительного отображения относительно другого (эталонного) отображения и доказал операторный вариант некоммутативной теоремы Радона – Никодима для вполне положительных отображений. Частный случай этой теоремы, соответствующий следу полностью положительного эталонного отображения на матричных алгебрах, приводит к оператору Чоя как производной Радона – Никодима CP-отображения относительно стандартного следа (см. Теорему Чоя).
Теорема Чоя
Чой показал, что если полностью положительно, где G и H - конечномерные гильбертовы пространства размерностей n и m соответственно, то Φ принимает вид:
Это называется теоремой Чоя о вполне положительных отображениях . Чой доказал это, используя технику линейной алгебры, но его результат также можно рассматривать как частный случай теоремы Стайнспринга: пусть ( π , V , K ) - минимальное представление Стайнспринга для Φ. По минимальности K имеет размерность меньше, чем размерность. Таким образом, без ограничения общности, K можно отождествить с
Каждый является копией n -мерного гильбертова пространства. Из, мы видим, что указанное выше отождествление K может быть устроено так, где P i - проекция из K на. Позволять. У нас есть
и результат Чоя доказан.
Результат Чоя является частным случаем некоммутативной теоремы Радона – Никодима для вполне положительных (CP) отображений, соответствующих следу полностью положительного эталонного отображения на матричных алгебрах. В сильной операторной форме эта общая теорема была доказана Белавкиным в 1985 году, который показал существование оператора положительной плотности, представляющего CP-отображение, которое является полностью абсолютно непрерывным относительно эталонного CP-отображения. Единственность этого оператора плотности в эталонном представлении Штейнспринга просто следует из минимальности этого представления. Таким образом, оператор Чоя является производной Радона – Никодима конечномерного CP-отображения по стандартному следу.
Обратите внимание, что при доказательстве теоремы Чоя, а также теоремы Белавкина из формулировки Стайнспринга, аргумент не дает явно операторы Крауса V i , если только не делается явная различная идентификация пространств. С другой стороны, первоначальное доказательство Чоя включает прямое вычисление этих операторов.
Теорема Наймарка о дилатации
Теорема Наймарка гласит, что любую B ( H ) -значную слабо счетно-аддитивную меру на некотором компактном хаусдорфовом пространстве X можно «поднять» так, чтобы эта мера стала спектральной мерой . Это можно доказать, объединив тот факт, что C ( X ) - коммутативная C * -алгебра, и теорему Стайнспринга.
Теорема С.-Надя о растяжении
Этот результат утверждает, что каждое сжатие в гильбертовом пространстве имеет унитарное растяжение со свойством минимальности.
Заявление
В теории квантовой информации , квантовые каналах или квантовых операциях , определяются как вполне положительные отображения между C * -алгебра. Теорема Стайнспринга, являющаяся классификацией всех таких карт, важна в этом контексте. Например, часть теоремы об уникальности использовалась для классификации определенных классов квантовых каналов.
Для сравнения различных каналов и вычисления их взаимной достоверности и информации полезно другое представление каналов по их производным "Радон – Никодим", введенное Белавкиным. В конечномерном случае также актуальна теорема Чоя как следовой вариант теоремы Радона – Никодима Белавкина для вполне положительных отображений. Операторы из выражения
называются операторами Крауса функции Φ. Выражение
иногда называют представлением операторной суммы Φ.
Рекомендации
- М.-Д. Чой, Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах , Линейная алгебра и ее приложения, 10, 285–290 (1975).
- В. П. Белавкин, П. Сташевский, Теорема Радона – Никодима для полностью положительных отображений , Доклады по математической физике, т. 24, № 1, 49–55 (1986).
- Паулсен В. Полностью ограниченные отображения и операторные алгебры. Издательство Кембриджского университета, 2003.
- У. Ф. Стайнспринг, Положительные функции на C * -алгебрах , Труды Американского математического общества, 6, 211–216 (1955).