В математике аддитивность (в частности, конечная аддитивность) и сигма-аддитивность (также называемая счетной аддитивностью) функции (часто меры ), определенной на подмножествах данного набора, являются абстракциями того, как интуитивно понятные свойства размера ( длины , площади , объема ) установить сумму при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность - более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть из σ-аддитивности следует аддитивность.
Аддитивные (или конечно аддитивные) функции множества [ править ]
Позвольте быть функцией, определенной на алгебре множеств со значениями в [−∞, + ∞] (см. Расширенную строку вещественных чисел ). Функция называется аддитивной или конечно аддитивной, если, когда A и B являются непересекающимися множествами в , выполняется
(Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать в качестве значений одновременно −∞ и + ∞, поскольку выражение ∞ - ∞ не определено.) °
С помощью математической индукции можно доказать, что аддитивная функция удовлетворяет
для любых непересекающихся множеств .
σ-аддитивные функции множества [ править ]
Предположим, что это σ-алгебра . Если для любой последовательности множеств попарно непересекающихся в , один имеет
- ,
мы говорим, что μ счетно аддитивна или σ-аддитивна.
Любая σ-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже.
τ-аддитивные функции множества [ править ]
Предположим, что помимо сигма-алгебры у нас есть топология τ. Если для любого направленного семейства измеримых открытых множеств ⊆ ∩ τ,
- ,
мы говорим, что μ является τ-аддитивной. В частности, если μ внутренне регулярна (относительно компактов), то она τ-аддитивна. [1]
Свойства [ править ]
Основные свойства [ править ]
К полезным свойствам аддитивной функции μ можно отнести следующее:
- Либо μ (∅) = 0, либо μ присваивает ∞ всем наборам в своей области определения, либо μ присваивает −∞ всем наборам в своей области определения.
- Если μ неотрицательно и A ⊆ B , то μ ( A ) ≤ μ ( B ).
- Если A ⊆ B и μ ( B ) - μ ( A ) определено, то μ ( B \ A ) = μ ( B ) - μ ( A ).
- Для A и B имеем μ ( A ∪ B ) + μ ( A ∩ B ) = μ ( A ) + μ ( B ).
Примеры [ править ]
Примером σ-аддитивной функции является функция μ, определенная над множеством степеней действительных чисел , такая что
Если - последовательность непересекающихся наборов действительных чисел, то либо ни один из наборов не содержит 0, либо ровно одно из них содержит. В любом случае равенство
держит.
Дополнительные примеры σ-аддитивных функций см. В разделе « Мера» и « Мера со знаком».
Аддитивная функция, которая не является σ-аддитивной [ править ]
Пример аддитивной функции, которая не является σ-аддитивной, получается при рассмотрении μ, определенной над множествами Лебега действительных чисел формулой
где λ обозначает меру Лебега, а lim - предел Банаха .
Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств
для n = 0, 1, 2, ... Объединение этих множеств является положительными действительными числами , и μ, примененный к объединению, тогда равен единице, тогда как μ, примененный к любому из отдельных наборов, равен нулю, поэтому сумма μ ( A n ) также равен нулю, что доказывает контрпример.
Обобщения [ править ]
Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности нужно дополнительно, чтобы на этом множестве было определено понятие предела последовательности . Например, спектральные меры - это сигма-аддитивные функции со значениями в банаховой алгебре . Другой пример, также из квантовой механики, - положительная операторная мера .
См. Также [ править ]
- подписанная мера
- мера (математика)
- аддитивная карта
- субаддитивная функция
- σ-конечная мера
- Теорема Хана – Колмогорова.
- τ-аддитивность
Эта статья включает материал из дополнения на PlanetMath , которое находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Ссылки [ править ]
- ^ DH Фремлин Мера теории, Том 4 , Торрес Фремлин, 2003.