В теории операторов , Наймарк теорема дилатации «s результат , который характеризует положительный оператор лекснозначных мер . Это можно рассматривать как следствие теоремы Стайнспринга о расширении .
Примечание
В математической литературе можно найти и другие результаты, носящие имя Наймарка.
Написание
В литературе по физике часто встречается написание «Neumark» вместо «Naimark». Последний вариант соответствует латинизации русского языка, используемой при переводе советских журналов, с опущением диакритических знаков (первоначально Naĭmark). Первое соответствует этимологии фамилии.
Некоторые предварительные представления
Пусть Х является компактным хаусдорфовым , Н быть гильбертово пространство , а L (H) банахово пространство из ограниченных операторов на H . Отображение E из борелевской σ-алгебры на X вназывается операторнозначной мерой, если она слабо счетно аддитивна, т. е. для любой непересекающейся последовательности борелевских множеств, у нас есть
для всех x и y . Некоторые термины для описания таких мер:
- E называется регулярным, если скалярнозначная мера
является регулярной борелевской мерой, то есть все компакты имеют конечную полную вариацию, а мера множества может быть аппроксимирована мерами открытых множеств.
- E называется ограниченным, если.
- Е называется положительным , если Е (В) является положительным оператором для всех B .
- Е называется самосопряженным , если Е (В) самосопряжено для всех B .
- E называется спектральным, если он самосопряжен и для всех .
Всюду мы будем предполагать, что E регулярное.
Пусть C (X) обозначим абелева С * -алгебру непрерывных функций на X . Если E регулярен и ограничен, он индуцирует отображение очевидным образом:
Из ограниченности E следует, что для всех h единичной нормы
Это показывает является ограниченным оператором для всех f и само по себе также является ограниченным линейным отображением.
Свойства напрямую связаны с таковыми из E :
- Если E положительно, то, рассматриваемое как отображение между C * -алгебрами, также положительно.
- является гомоморфизмом, если по определению для всех непрерывных f на X и,
Возьмем f и g как индикаторные функции борелевских множеств, и мы увидим, чтоявляется гомоморфизмом тогда и только тогда, когда E спектрально.
- Точно так же сказать уважает * операционные средства
LHS - это
а RHS - это
Итак, взяв fa последовательность непрерывных функций, возрастающих до индикаторной функции B , получаем, т.е. E (B) самосопряженный.
- Объединение двух предыдущих фактов дает заключение, что является * -гомоморфизмом тогда и только тогда, когда E спектрально и самосопряжено. (Когда E является спектральным и самосопряженным, E называется проекционно-значной мерой или PVM.)
Теорема Наймарка
Теорема гласит: Пусть Е положительная L (H) значная мера на X . Существует гильбертово пространство K , ограниченный оператор, и самосопряженной спектральной L (K) -значной меры на X , F , такой что
Доказательство
Приведем набросок доказательства. Аргумент передает E индуцированному отображениюи использует теорему Стайнспринга о расширении . Поскольку E положительно, так икак карта между C * -алгебрами, как объяснено выше. Кроме того, поскольку домен, C (X) , является абелевой C * -алгеброй, имеемявляется вполне положительным . По результату Стайнспринга существует гильбертово пространство K , * -гомоморфизм, и оператор такой, что
Поскольку π - * -гомоморфизм, соответствующая ему оператор-мера F спектральна и самосопряжена. Легко видеть, что F обладает желаемыми свойствами.
Конечномерный случай
В конечномерном случае есть несколько более явная формулировка.
Предположим сейчас , поэтому C ( X ) конечномерная алгебра, а H имеет конечную размерность m . Положительная оператор-мера E затем сопоставляет каждому i положительно полуопределенную матрицу размера m × m. Теорема М. А. Наймарка теперь утверждает , что существует проекция многозначной мера на X , ограничение которого является E .
Особый интерес представляет частный случай, когда где I - тождественный оператор. (См. Статью о POVM для соответствующих приложений.) В этом случае индуцированная картаявляется единым. Без ограничения общности можно предположить, что каждый проекция первого ранга на некоторую . При таких предположениях случай исключен, и мы должны иметь либо
- а E уже является проекционно-значной мерой (поскольку если и только если является ортонормированным базисом),
- а также не состоит из взаимно ортогональных проекций.
Для второй возможности проблема поиска подходящей проекционно-значной меры теперь превращается в следующую проблему. По предположению неквадратная матрица
это изометрия, то есть . Если мы сможем найтиматрица N где
является унитарной матрицей размера n × n , тогда проекционно-значная мера, элементы которой являются проекциями на векторы-столбцы матрицы U, будет иметь требуемые свойства. В принципе, такое N всегда можно найти.
Рекомендации
- Паулсен В. Полностью ограниченные отображения и операторные алгебры , Издательство Кембриджского университета, 2003.