Прогнозно-оценочная мера

В математике , особенно в функциональном анализе , проекционно-значная мера (ПВМ) - это функция, определенная на определенных подмножествах фиксированного множества, значения которой являются самосопряженными проекциями на фиксированное гильбертово пространство . Проекционные-значной меры формально аналогичны вещественными мер , за исключением того, что их значения самосопряжены проекции , а не действительные числа. Как и в случае обычных мер, можно интегрировать комплексные функции относительно PVM; результатом такого интегрирования является линейный оператор в данном гильбертовом пространстве.

Проекционно-значные меры используются для выражения результатов в спектральной теории , таких как важная спектральная теорема для самосопряженных операторов . Функциональное исчисление Борель для операторов самосопряжённых строятся с помощью интегралов по PVMs. В квантовой механике PVM - это математическое описание проективных измерений . ^{[ требуется пояснение ]} Они обобщаются с помощью положительных операторнозначных мер (POVM) в том же смысле, что смешанное состояние или матрица плотности обобщает понятие чистого состояния .

Формальное определение [ править ]

Проекционно-значная мера на измеримом пространстве , где - σ-алгебра подмножеств , является отображением из в множество самосопряженных проекций в гильбертовом пространстве (т. Е. Ортогональных проекций) такое, что${\ Displaystyle (Х, М)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle \ pi (X) = \ operatorname {id} _ {H} \ quad}$

(где - тождественный оператор ) и для каждого следующая функция${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {H}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ xi, \ eta \ in H}$${\ Displaystyle M \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle E \ mapsto \ langle \ pi (E) \ xi \ mid \ eta \ rangle}$

- комплексная мера на (т. е. комплекснозначная счетно-аддитивная функция).${\ displaystyle M}$

Обозначим эту меру через .${\ Displaystyle \ OperatorName {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

Обратите внимание, что это мера с действительным знаком и мера вероятности, если длина равна единице.${\ Displaystyle \ OperatorName {S} _ {\ pi} (\ xi, \ xi)}$${\ displaystyle \ xi}$

Если - проекционно-значная мера и${\ displaystyle \ pi}$

${\displaystyle E\cap F=\emptyset ,}$

то изображение , является ортогональным друг к другу. Из этого следует, что в общем случае${\displaystyle \pi (E)}$${\displaystyle \pi (F)}$

${\displaystyle \pi (E)\pi (F)=\pi (E\cap F)=\pi (F)\pi (E),}$

и они ездят на работу.

Пример . Предположим , это пространство с мерой. Пусть для любого измеримого подмножества в , ${\displaystyle (X,M,\mu )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(\mu )\to L^{2}(\mu ):\psi \mapsto \chi _{E}\psi }$

- оператор умножения на индикаторную функцию на L ² ( X ) . Тогда - проекционно-значная мера.${\displaystyle 1_{E}}$${\displaystyle \pi }$

Расширения проекционно-значных мер, интегралов и спектральной теоремы [ править ]

Если π - проекционно-значная мера на измеримом пространстве ( X , M ), то отображение

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

продолжается до линейного отображения на векторном пространстве ступенчатых функций на X . На самом деле легко проверить, что это отображение является гомоморфизмом колец . Это отображение каноническим образом распространяется на все ограниченные комплекснозначные измеримые функции на X , и мы имеем следующее.

Теорема . Для любого ограниченного М - измеримая функции F на X, существует единственный ограниченный линейный оператор

${\displaystyle \mathrm {T} _{\pi }(f):H\to H}$

такой, что

${\displaystyle \langle \operatorname {T} _{\pi }(f)\xi \mid \eta \rangle =\int _{X}f\ d\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )}$

для всех где обозначает комплексную меру${\displaystyle \xi ,\eta \in H,}$ ${\displaystyle \operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )}$

${\displaystyle E\mapsto \langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

из определения .${\displaystyle \pi }$

Карта

${\displaystyle {\mathcal {BM}}(X,M)\to {\mathcal {L}}(H):f\mapsto \operatorname {T} _{\pi }(f)}$

является гомоморфизмом колец .

Часто используются интегральные обозначения , как в${\displaystyle \operatorname {T} _{\pi }(f)}$

${\displaystyle \operatorname {T} _{\pi }(f)=\int _{X}f(x)\,d\pi (x)=\int _{X}f\,d\pi .}$

Теорема также справедливо для неограниченных измеримых функций F , но тогда будет неограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H .${\displaystyle \operatorname {T} _{\pi }(f)}$

Спектральная теорема говорит , что каждый самосопряженный оператор имеет ассоциированную проекторную меру , определенную на вещественной оси, такую , что${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \pi _{A}}$

${\displaystyle A=\int _{\mathbb {R} }x\,d\pi _{A}(x).}$

Это позволяет определить функциональное исчисление Бореля для таких операторов: если - измеримая функция, мы полагаем${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(A):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi _{A}(x).}$

Структура проекционно-оценочных мер [ править ]

Сначала мы приводим общий пример проекционно-значной меры, основанной на прямых интегралах . Предположим, что ( X , M , μ) - пространство с мерой, и пусть { H _x } _{x ∈ X} - измеримое μ семейство сепарабельных гильбертовых пространств. Для любого E ∈ M пусть π ( E ) - оператор умножения на 1 _E в гильбертовом пространстве

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Тогда π - проекционно-значная мера на ( X , M ).

Пусть π , ρ является проекционной-значной мерой на ( X , М ) со значениями в проекции H , K . π , ρ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

для любого E ∈ M .

Теорема . Если ( X , M ) - стандартное борелевское пространство , то для любой проекционно-значной меры π на ( X , M ), принимающей значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, существует борелевская мера μ и μ-измеримое семейство Гильбертовы пространства { H _x } _{x ∈ X} , такие, что π унитарно эквивалентно умножению на 1 _E в гильбертовом пространстве

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Класс меры ^{[ требуется пояснение ]} меры μ и класс эквивалентности меры функции кратности x → dim H _x полностью характеризуют проекционно-значную меру с точностью до унитарной эквивалентности.

Выступ-значной мерой π является однородной кратности п тогда и только тогда , когда функция кратности имеет постоянное значение п . Четко,

Теорема . Любая проекционно-значная мера π, принимающая значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, является ортогональной прямой суммой однородных проекционно-значных мер:

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

куда

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

и

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

Применение в квантовой механике [ править ]

В квантовой механике дана проекционно-значная мера измеримого пространства X на пространство непрерывных эндоморфизмов на гильбертовом пространстве H ,

• единичная сфера гильбертова пространства H интерпретируется как множество возможных состояний Φ квантовой системы,

• измеримое пространство X - это пространство значений некоторого квантового свойства системы ("наблюдаемого"),

• проекционно-значная мера π выражает вероятность того, что наблюдаемая принимает различные значения.

Обычный выбор для X - это реальная линия, но она также может быть

• R ³ (для позиции или импульса в трех измерениях),

• дискретный набор (по угловому моменту, энергии связанного состояния и т. д.),

• 2-точечный набор «истина» и «ложь» для значения истинности произвольного предложения о Ф.

Пусть E - измеримое подмножество измеримого пространства X, а Φ - нормированное вектор-состояние в H , так что его гильбертова норма унитарна, || Φ || = 1. Вероятность того, что наблюдаемая принимает значение в подмножестве E, для данной системы в состоянии Φ, равна

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle ,}$

где последнее обозначение является предпочтительным в физике.

Мы можем проанализировать это двумя способами.

Во-первых, для каждого фиксированного E проекция π ( E ) является самосопряженным оператором на H , 1-собственное подпространство которого - это состояния Φ, для которых значение наблюдаемой всегда лежит в E , а 0-собственное подпространство - состояния Φ для которых значение наблюдаемой никогда не лежит в Е .

Во-вторых, для каждого фиксированного нормализованного векторного состояния ассоциация ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\psi ):E\mapsto \langle \psi \mid \pi (E)\psi \rangle }$

- вероятностная мера на X, превращающая значения наблюдаемого в случайную величину.

Измерение, которое может быть выполнено с помощью проекционно-значной меры π , называется проективным измерением .

Если X - прямая действительного числа, существует связанный с π эрмитов оператор A, определенный на H формулой

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbf {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

который принимает более читаемую форму

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

если носитель П является дискретным подмножеством R .

Вышеупомянутый оператор A называется наблюдаемой, связанной со спектральной мерой.

Любой полученный таким образом оператор в квантовой механике называется наблюдаемой .

Обобщения [ править ]

Идея проекционно-значной меры обобщается положительной операторнозначной мерой (POVM), где необходимость ортогональности, подразумеваемая проекционными операторами, заменяется идеей набора операторов, которые являются неортогональным разбиением единицы. ^{[ требуется разъяснение ]} . Это обобщение мотивировано приложениями к квантовой теории информации .

См. Также [ править ]

• Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C * -алгебр

Ссылки [ править ]

• Моретти В. (2018), Спектральная теория и квантовая механика Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки , 110 , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Макки, GW, Теория представлений унитарных групп , The University of Chicago Press, 1976
• М. Рид и Б. Саймон , Методы математической физики , т. I – IV, Academic Press, 1972.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , Американское математическое общество, 2009.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Варадараджан В.С. Геометрия квантовой теории V2, Springer Verlag, 1970.