В квантовой теории информации , то канал состояние двойственность относится к соответствию между квантовыми каналами и квантовыми состояниями (описываемых матрицами плотности ). Другими словами, двойственность - это изоморфизм между полностью положительными отображениями (каналами) из A в C n × n , где A - C * -алгебра, а C n × n обозначает комплексные элементы n × n , и положительные линейные функционалы ( состояния ) на тензорном произведении
Подробности
Пусть H 1 и H 2 - (конечномерные) гильбертовы пространства. Семейство линейных операторов, действующих на H i , обозначим L ( H i ). Рассмотрим две квантовые системы с индексами 1 и 2, состояния которых являются матрицами плотности в L ( H i ) соответственно. Квантовый канал , в картине Шредингера, является вполне положительным (CP для краткости), сохраняющего след линейного отображения
который переводит состояние системы 1 в состояние системы 2. Далее мы описываем дуальное состояние, соответствующее Φ.
Пусть E i j обозначает матричную единицу, у которой ij -й элемент равен 1 и равен нулю в другом месте. (Операторная) матрица
называется матрицей Чоя матрицы Φ. По теореме Чоя о вполне положительных отображениях Φ CP тогда и только тогда, когда ρ Φ положительно (полуопределено). Можно рассматривать ρ Φ как матрицу плотности и, следовательно, состояние, двойственное к Φ.
Двойственность между каналами и состояниями относится к карте
линейная биекция. Это отображение также называется изоморфизмом Ямиолковского или изоморфизмом Чоя – Ямиолковского .
Приложения
Этот изоморфизм используется , чтобы показать , что «Подготовку и измерить» квантовое распределение ключей (QKD) протоколы, такие как BB84 протокол , разработанный CH Bennett и Г. Brassard [1] эквивалентны « Запутывание QKD протоколы», основанных введенных пользователя AK Ekert . [2] Более подробную информацию об этом можно найти, например, в книге М. Уайльда «Квантовая теория информации». [3]
Рекомендации
- ^ CH Bennett и G. Brassard , «Квантовая криптография: распределение открытых ключей и подбрасывание монет», Труды Международной конференции IEEE по компьютерам, системам и обработке сигналов, Бангалор, 175 (1984)
- ^ Экерт, Артур К. (1991-08-05). «Квантовая криптография, основанная на теореме Белла». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 67 (6): 661–663. Bibcode : 1991PhRvL..67..661E . DOI : 10.1103 / physrevlett.67.661 . ISSN 0031-9007 . PMID 10044956 .
- ^ М. Уайлд, "Квантовая теория информации" - Издательство Кембриджского университета, 2-е изд. (2017), §22.4.1, стр. 613