ПРОП (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики, PROP - это симметричная строгая моноидальная категория , объектами которой являются натуральные числа n, отождествленные с конечными множествами, и тензорное произведение которой задается на объектах путем сложения чисел. ^[1] Из - за «симметричны», для каждого п , то симметрическая группа по п букв даются в качестве подгруппы в группе автоморфизмов из п . Название PROP является аббревиатурой от "PROduct and Permutation category ".${\ Displaystyle \ {0,1, \ ldots, п-1 \}}$

Это понятие было введено Адамсом и Маклейном; его топологический вариант был позже дан Бордманом и Фогтом. ^[2] Вслед за ними Дж. П. Мэй ввел понятие « операда », особый вид ПРОП.

Есть следующие включения полных подкатегорий: ^[3]

${\ displaystyle {\ mathsf {Oper}} \ subset {\ tfrac {1} {2}} {\ mathsf {PROP}} \ subset {\ mathsf {PROP}}}$

где первая категория - это категория (симметричных) операд.

Примеры и варианты [ править ]

Важен элементарный класс реквизита являются множествами из всех матриц (независимо от числа строк и столбцов) в течение некоторого фиксированного кольца . Более конкретно, эти матрицы являются морфизмами PROP; объекты могут быть приняты либо как (наборы векторов), либо как простые натуральные числа (поскольку объекты не обязательно должны быть наборами с некоторой структурой). В этом примере:${\ displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {\ bullet \ times \ bullet}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {R}} ^ {n} \} _ {п = 0} ^ {\ infty}}$

• Композиция морфизмов - это обычное матричное умножение .${\ displaystyle \ circ}$
• Тождественный морфизм объекта (или ) является единичной матрицей со стороной .${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {п}}$${\ displaystyle n}$
• Продукт действует на объекты , как дополнение ( или ) и на морфизмах как операции построения блока диагональные матрицы : .${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle m\otimes n=m+n}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}}$${\displaystyle \alpha \otimes \beta ={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}}$
  • Таким образом, совместимость состава и продукта сводится к

    ${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}C&0\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AC&0\\0&BD\end{bmatrix}}=(A\circ C)\otimes (B\circ D)}$.

  • В качестве крайнего случая допускаются матрицы без строк ( матриц) или без столбцов ( матриц), а в отношении умножения учитываются как нулевые матрицы. Идентичность является матрица.${\displaystyle 0\times n}$${\displaystyle m\times 0}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle 0\times 0}$
• Эти перестановки в PROP являются матрицы перестановок . Таким образом, левое действие перестановки на матрице (морфизм этого PROP) состоит в перестановке строк, тогда как правое действие - перестановка столбцов.

Существуют также PROP матриц, где произведением является произведение Кронекера , но в этом классе PROP все матрицы должны иметь форму (стороны - это степени некоторого общего основания ); они являются координатными аналогами соответствующих симметричных моноидальных категорий векторных пространств относительно тензорного произведения.${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle k^{m}\times k^{n}}$ ${\displaystyle k}$

Дополнительные примеры PROP:

• дискретная категория натуральных чисел,${\displaystyle \mathbb {N} }$
• категория FinSet натуральных чисел и функций между ними,
• категория Bij натуральных чисел и биекций,
• категория Inj натуральных чисел и инъекций.

Если отбросить требование «симметричность», то получится понятие категории PRO . Если заменить «симметричный» на « b raided» , то получится понятие PROB категории.

• категория Bij _Braid натуральных чисел, снабженная группой кос B _n в качестве автоморфизмов каждого n (и никакими другими морфизмами).

является ПРОБЛЕМНЫМ, но не ПРОПОМ.

• дополненной симплекс категории натуральных чисел и функций , сохраняющих порядок .${\displaystyle \Delta _{+}}$

это пример ПРО, который даже не ПРОБ.

Алгебры ПРО [ править ]

Алгебра ПРО в моноидальной категории - это строгий моноидальный функтор от до . Каждая PRO и категория порождают категорию алгебр, объектами которой являются алгебры in и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями между ними.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathrm {Alg} _{P}^{C}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

Например:

• алгебра всего лишь объект ,${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$
• алгебра FinSet является коммутативной Моноид объект из ,${\displaystyle C}$
• алгебра является моноидным объектом в .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$

Точнее, то , что мы имеем в виду здесь «алгебры в являются Моноид объектов в », например , является то , что категория алгебр в это эквивалентно к категории моноидов .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

См. Также [ править ]

• Теория Ловера
• Категория перестановки

Ссылки [ править ]

• Сондерс Маклейн (1965). «Категориальная алгебра» . Бюллетень Американского математического общества . 71 : 40–106. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1965-11234-4 .
• Мартин Маркл, Стив Шнидер , Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math / 0305049 . Bibcode : 2004hohc.book ..... L .