Плетеная моноидальная категория

В математике , коммутативности ограничение на моноидальной категории является выбор изоморфизма для каждой пары объектов A и B , которые образуют «естественную семью.» В частности, чтобы иметь ограничение коммутативности, необходимо иметь для всех пар объектов .${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {A, B}: A \ otimes B \ rightarrow B \ otimes A}$${\ displaystyle A \ otimes B \ cong B \ otimes A}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {C}}}$

Плетеная моноидальная категория является моноидальными категориями оснащена оплеткой , то есть к коммутативности ограничением , который удовлетворяет аксиомы включая шестигранные идентичности , определенные ниже. Термин плетеная коса указывает на тот факт, что группа кос играет важную роль в теории моноидальных категорий в плетении. Отчасти по этой причине сплетенные моноидальные категории и другие темы связаны в теории инвариантов узлов .${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

В качестве альтернативы, плетеную моноидальную категорию можно рассматривать как трикатегорию с одной 0-ячейкой и одной 1-ячейкой.

Плетеные моноидальные категории были введены Андре Жоялом и Росс Стрит в препринте 1986 года. ^[1] Модифицированная версия этой статьи была опубликована в 1993 году. ^[2]

Тождества шестиугольника [ править ]

Чтобы наряду с ограничением коммутативности называть сплетенной моноидальной категорией, следующие гексагональные диаграммы должны коммутировать для всех объектов . Вот изоморфизм ассоциативности, исходящий из моноидальной структуры на :${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle A, B, C \ in {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

,

Свойства [ править ]

Согласованность [ править ]

Можно показать, что естественный изоморфизм наряду с отображениями, происходящими из моноидальной структуры на категории , удовлетворяет различным условиям когерентности , которые утверждают, что различные композиции структурных отображений равны. В частности:${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ alpha, \ lambda, \ rho}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

• Плетение перемещается с юнитами. То есть коммутирует следующая диаграмма:

• Действие множителей на -кратное тензорное произведение через группу кос . В частности,${\ displaystyle \ gamma}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

как карты . Здесь мы опускаем ассоциаторные карты.${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

Варианты [ править ]

Есть несколько вариантов плетеных моноидальных категорий, которые используются в различных контекстах. См., Например, пояснительную статью Savage (2009) для объяснения симметричных и кограничных моноидальных категорий и книгу Chari и Pressley (1995) для категорий лент.

Симметричные моноидальные категории [ править ]

Сплетенная моноидальная категория называется симметричной, если также удовлетворяет для всех пар объектов и . В этом случае действие на -кратное тензорное произведение множится через симметрическую группу .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle N}$

Категории ленты [ править ]

Сплетенная моноидальная категория является категорией ленты, если она жесткая , и она может сохранять квантовый след и копвантовый след. Категории ленты особенно полезны при построении инвариантов узлов .

Кограничные моноидальные категории [ править ]

Кограница или моноидальная категория «кактус» - это моноидальная категория вместе с семейством естественных изоморфизмов со следующими свойствами:${\displaystyle (C,\otimes ,{\text{Id}})}$${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$для всех пар объектов и .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

Первое свойство показывает нам это , тем самым позволяя опустить аналог второй определяющей диаграммы сплетенной моноидальной категории и игнорировать ассоциативные карты, как подразумевается.${\displaystyle \gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}}$

Примеры [ править ]

• Категория представлений группы (или алгебры Ли ) - это симметричная моноидальная категория, где .${\displaystyle \gamma (v\otimes w)=w\otimes v}$
• Категория представлений квантованной универсальной обертывающей алгебры - это сплетенная моноидальная категория, построенная с помощью универсальной R -матрицы . Фактически, этот пример также относится к категории ленты.${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \gamma }$

Приложения [ править ]

• Инварианты узлов .
• Симметричные замкнутые моноидальные категории используются в денотационных моделях линейной логики и линейных типов .
• Описание и классификация топологических упорядоченных квантовых систем.

Ссылки [ править ]

• Чари, Виджаянти ; Прессли, Эндрю. «Путеводитель по квантовым группам». Издательство Кембриджского университета. 1995 г.
• Дикарь, Алистер. Плетеные и кограничные моноидальные категории. Алгебры, представления и приложения, 229–251, Contemp. Матем., 483, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 2009. Доступно на arXiv.

Внешние ссылки [ править ]

• Плетеная моноидальная категория в nLab
• Джон Баэз (1999), Введение в сплетенные моноидальные категории , Находки этой недели по математической физике 137.