Условие согласованности

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается на предмет удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания специалиста-математика . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Февраль 2009 г. ) Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , и особенно в теории категорий , условие согласованности - это совокупность условий, требующих, чтобы различные композиции элементарных морфизмов были равны. Обычно элементарные морфизмы являются частью данных категории . Теорема о согласованности утверждает, что для того, чтобы быть уверенным, что все эти равенства выполняются, достаточно проверить небольшое количество тождеств.

Наглядный пример: моноидальная категория [ править ]

Часть данных моноидальной категории - это выбранный морфизм , называемый ассоциатором :${\ displaystyle \ alpha _ {А, В, С}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {A, B, C} \ двоеточие (A \ otimes B) \ otimes C \ rightarrow A \ otimes (B \ otimes C)}$

за каждую тройку объектов категории. Используя их композиции , можно построить морфизм${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle \ alpha _ {А, В, С}}$

${\ displaystyle ((A_ {N} \ otimes A_ {N-1}) \ otimes A_ {N-2}) \ otimes \ cdots \ otimes A_ {1}) \ rightarrow (A_ {N} \ otimes (A_ { N-1} \ otimes \ cdots \ otimes (A_ {2} \ otimes A_ {1})).}$

Собственно, есть много способов построить такой морфизм как композицию различных . Обычно налагается одно условие согласованности - все эти композиции равны.${\ displaystyle \ alpha _ {А, В, С}}$

Обычно условие когерентности доказывается с помощью теоремы о согласованности , которая гласит, что нужно проверить лишь несколько равенств композиций, чтобы показать, что остальные также выполняются. В приведенном выше примере нужно только проверить, что для всех четверок объектов следующая диаграмма коммутирует.${\displaystyle A,B,C,D}$

Любые пары морфизмов от до, построенные как композиции различных , равны.${\displaystyle ((\cdots (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})}$${\displaystyle (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes (\cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})\cdots ))}$${\displaystyle \alpha _{A,B,C}}$

Дальнейшие примеры [ править ]

Два простых примера, которые иллюстрируют определение, заключаются в следующем. Оба взяты непосредственно из определения категории.

Личность [ править ]

Пусть F  : → B морфизм категории , содержащей два объекта A и B . Связанный с этими объектами являются тождественными морфизмами 1  : → и 1 _B  : B → B . Составив их с помощью f , мы построим два морфизма:

f o 1 _A  : A → B и

1 _Б о е  : → B .

Оба являются морфизмами между теми же объектами, что и f . Соответственно, мы имеем следующее заявление о согласованности:

f o 1 _A = f   = 1 _B o f .

Ассоциативность композиции [ править ]

Пусть F  : A → B , г  : B → C и ч  : C → D морфизмы категории , содержащей объекты A , B , C и D . Повторяя композицию, мы можем построить морфизм от A к D двумя способами:

( h o g ) o f  : A → D , и

ч о ( г о е ): → D .

Теперь у нас есть следующее заявление о согласованности:

( h o g ) o f = h o ( g o f ) .

В этих двух конкретных примерах утверждения о согласованности являются теоремами для случая абстрактной категории, поскольку они непосредственно следуют из аксиом; по сути, это аксиомы. В случае конкретной математической структуры их можно рассматривать как условия, а именно как требования к тому, чтобы рассматриваемая математическая структура была конкретной категорией, требования, которым такая структура может соответствовать или не соответствовать.

Ссылки [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1971). Категории для работающего математика . Тексты для выпускников по математике Springer-Verlag. Особенно Глава VII Часть 2.