Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы - это функторы между моноидальными категориями, сохраняющие моноидальную структуру. Более конкретно, моноидальный функтор между двумя моноидальными категориями состоит из функтора между категориями вместе с двумя отображениями когерентности - естественным преобразованием и морфизмом, которые сохраняют моноидальное умножение и единицу соответственно. Математики требуют, чтобы эти карты согласованности удовлетворяли дополнительным свойствам в зависимости от того, насколько строго они хотят сохранить моноидальную структуру; каждое из этих свойств приводит к несколько иному определению моноидальных функторов

• Карты когерентности нестрогих моноидальных функторов не обладают дополнительными свойствами; они не обязательно обратимы.
• Карты когерентности сильных моноидальных функторов обратимы.
• Карты когерентности строгих моноидальных функторов являются тождественными.

Хотя здесь мы проводим различие между этими разными определениями, авторы могут называть любой из этих просто моноидальных функторов .

Определение [ править ]

Позвольте и быть моноидальными категориями. Слабые моноидальный функтор из к (который также может быть просто называется моноидалъное функтор) состоит из функтора вместе с естественным преобразованием${\ displaystyle ({\ mathcal {C}}, \ otimes, I _ {\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {D}}, \ bullet, I _ {\ mathcal {D}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ Displaystyle F: {\ mathcal {C}} \ to {\ mathcal {D}}}$

${\ displaystyle \ phi _ {A, B}: FA \ bullet FB \ to F (A \ otimes B)}$

между функторами и морфизмом${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}} \ to {\ mathcal {D}}}$

${\ displaystyle \ phi: I _ {\ mathcal {D}} \ to FI _ {\ mathcal {C}}}$,

называются карты когерентности или структурные морфизмы , которые являются такими , что для каждых трех объектов , и из диаграмм${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

,

   и   

коммутирую в категории . Выше, различные естественные преобразования, обозначенные с помощью, являются частями моноидальной структуры на и .${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ alpha, \ rho, \ lambda}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Варианты [ править ]

• Двойственный к моноидальному функтору является комоноидальным функтором ; это моноидальный функтор, отображения когерентности которого обращены. Комоноидальные функторы также могут называться опмоноидальными, моноидальными функциями colax или моноидальными функторами oplax.
• Сильный моноидальный функтор является моноидальным функтор которого когерентность карты обратимы.${\ displaystyle \ phi _ {A, B}, \ phi}$
• Строгий моноидальный функтор является моноидальным функтор когерентности которых карта идентичность.
• Плетеный моноидальный функтор является моноидальным функтором между плетеной моноидальной категорией (с оплеткой обозначается ) таким образом, что следующая диаграмма коммутирует для каждой пары объектов , Б в  :${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

• Симметричный моноидальный функтор является плетеным моноидальным функтором, области и область значений являются симметричными моноидальными категориями .

Примеры [ править ]

• Базовый функтор из категории абелевых групп в категорию множеств. В этом случае карта отправляет (a, b) в ; карта отправляется в 1.${\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})}$${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$${\displaystyle a\otimes b}$${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \ast }$
• Если - (коммутативное) кольцо, то свободный функтор продолжается до сильно моноидального функтора (а также, если он коммутативен).${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$${\displaystyle R}$
• Если - гомоморфизм коммутативных колец, то функтор ограничения моноидален, а функтор индукции сильно моноидален.${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• Важным примером симметричного моноидального функтора является недавно разработанная математическая модель топологической квантовой теории поля . Пусть будет категория кобордизмы из п-1, п - мерных многообразий с тензорным произведением дается несвязным объединением и блоком пустого коллектора. Топологическая квантовая теория поля в размерности n - это симметричный моноидальный функтор${\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}$${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}$
• Гомологии функтор моноидальный , как через карту .${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

Свойства [ править ]

• Если является моноидным объектом в , то является моноидным объектом в .${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$${\displaystyle D}$

Моноидальные функторы и присоединения [ править ]

Предположим, что функтор сопряжен слева к моноидалу . Тогда имеет комоноидальную структуру, индуцированную , определяемую${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,m)}$${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

и

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$.

Если индуцированная структура на сильной, то единица и счетчик присоединения являются моноидальными естественными преобразованиями , а присоединение называется моноидальным присоединением ; наоборот, левый сопряженный к моноидальному присоединению всегда сильный моноидальный функтор.${\displaystyle F}$

Аналогично, правый сопряженный к комоноидальному функтору является моноидальным, а правый сопряженный к комоноидальному функтору является сильным моноидальным функтором.

См. Также [ править ]

• Моноидальное естественное преобразование

Ссылки [ править ]

• Келли, Г. Макс (1974), "Доктринальное присоединение" , конспект лекций по математике , 420 , 257–280