В теории категорий , раздел математики , моноид (или моноидный объект , или внутренний моноид , или алгебра ) ( M , μ , η ) в моноидальной категории ( C , ⊗, I ) - это объект M вместе с двумя морфизмами
- μ : M ⊗ M → M называется умножением ,
- η : I → M называется единицей ,
таким образом, что пятиугольник диаграмма ,
и диаграмма юнитора
добираться на работу . В приведенных выше обозначениях, я единичный элемент и α, λ и ρ соответственно ассоциативность, левая идентичность и правая идентичность моноидальной категории C .
Двойственно комоноид в моноидальной категории C является моноидом в двойственной категории C op .
Предположим, что моноидальная категория C обладает симметрией γ . Моноид М в С является коммутативной при μ о γ = μ .
Примеры [ править ]
- Моноидный объект в Set , категории множеств (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением ), является моноидом в обычном смысле.
- Моноидный объект в Top , категории топологических пространств (с моноидальной структурой, индуцированной топологией произведения ), является топологическим моноидом .
- Моноидный объект в категории моноидов (с прямым произведением моноидов) - это просто коммутативный моноид . Это легко следует из аргумента Экмана – Хилтона .
- Моноидный объект в категории полных джойн-полурешеток Sup (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением) является унитальным квантом .
- Моноидный объект в категории абелевых групп ( Ab , ⊗ Z , Z ) - это кольцо .
- Для коммутативного кольца R моноидный объект в
- ( R - Mod , ⊗ R , R ) категория модулей над R является R -алгеброй .
- категория градуированных модулей - это градуированная R -алгебра .
- категория цепных комплексов из R -модулей являются дифференциальной градуированной алгеброй .
- Моноид объект в K - Vect , в категории К -векторным пространствам (опять же , с тензорным произведением), является K - алгебра , а comonoid объектом является K - коалгебра .
- Для любой категории C , категория [ С , С ] его endofunctors имеет моноидалъное структуру , индуцированное композицией и тождество функтора я C . Объект моноид в [ С , С ] является монада на C .
- Для любой категории с конечными продуктами каждый объект становится комоноидным объектом посредством диагонального морфизма . Двойственно в категории с конечными копроизведениями каждый объект становится моноидным объектом через .
Категории моноидов [ править ]
Для двух моноидов ( M , μ , η ) и ( M ' , μ' , η ' ) в моноидальной категории C морфизм f : M → M ' является морфизмом моноидов, когда
- е о μ = μ» O ( F ⊗ F ),
- f o η = η ' .
Другими словами, следующие диаграммы
,
ездить.
Категория моноидах в С и их моноидными морфизмов написано Пт C . [1]
См. Также [ править ]
- Act-S , категория моноидов, действующих на множествах
Ссылки [ править ]
- ^ Раздел VII.3 в Маклейна, Saunders (1988). Категории для работающего математика (4-е изд. Корр.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.
- Мати Килп, Ульрих Кнауэр, Александр В. Михалов, Моноиды, акты и категории (2000), Вальтер де Грюйтер, Берлин ISBN 3-11-015248-7
