В математике кокасательный комплекс примерно универсальная линеаризация морфизм геометрических или алгебраических объектов. Котангенсные комплексы были первоначально определены в частных случаях рядом авторов. Люк Иллюзи , Даниэль Квиллен и М. Андре независимо друг от друга придумали определение, которое работает во всех случаях.
Мотивация
Предположим, что X и Y - алгебраические многообразия и что f : X → Y - морфизм между ними. Котангенс комплекса F является более универсальной версией относительной Кэлеры дифференциалов Ω X / Y . Самая основная мотивация для такого объекта - точная последовательность дифференциалов Кэлера, связанных с двумя морфизмами. Если Z - другое многообразие, и если g : Y → Z - другой морфизм, то существует точная последовательность
Следовательно, в некотором смысле относительные кэлеровы дифференциалы являются точным справа функтором . (Однако буквально это неверно, потому что категория алгебраических многообразий не является абелевой категорией , и поэтому точность справа не определена.) Фактически, до определения кокасательного комплекса существовало несколько определений функторов, которые может расширить последовательность дальше влево, например, с помощью функторов Лихтенбаума – Шлезингера T i и модулей несовершенства . Большинство из них было мотивировано теорией деформации .
Эта последовательность точна слева, если морфизм f гладкий. Если бы Ω допускало первый производный функтор , то из точности слева следовало бы, что соединительный гомоморфизм исчезнет, и это, безусловно, было бы так, если бы первый производный функтор f , каким бы он ни был, исчез. Поэтому разумно предположить, что первый производный функтор гладкого морфизма обращается в нуль. Более того, когда любой из функторов, расширяющих последовательность кэлеровых дифференциалов, применялся к гладкому морфизму, они тоже исчезали, что предполагало, что кокасательный комплекс гладкого морфизма может быть эквивалентен кэлеровым дифференциалам.
Другой естественной точной последовательностью, связанной с дифференциалами Кэлера, является точная последовательность конормальных форм . Если f - замкнутое погружение с пучком идеалов I , то существует точная последовательность
Это расширение точной последовательности, приведенной выше: слева есть новый член, конормальный пучок f , и относительные дифференциалы Ω X / Y исчезли, потому что закрытое погружение формально неразветвлено . Если f - включение гладкого подмногообразия, то эта последовательность является короткой точной последовательностью. [1] Это говорит о том, что кокасательный комплекс включения гладкого многообразия эквивалентен конормальному пучку, сдвинутому на один член.
Ранние работы над котангенсными комплексами
Комплекс котангенса восходит по крайней мере к SGA 6 VIII 2, где Пьер Бертло дал определение, когда f является сглаживаемым морфизмом, что означает, что существует схема V и морфизмы i : X → V и h : V → Y такие, что f = hi , i - замкнутое погружение, h - гладкий морфизм. (Например, все проективные морфизмы сглаживаемо, так как V может быть принят проективным расслоением над Y .) В этом случае, он определяет кокасательный комплекс F в качестве объекта в производной категории из когерентных пучков Х следующим образом :
- Если J - идеал X в V , то
- для всех остальных я ,
- Дифференциал - обратный ход по i включения J в структурный пучокиз V с последующим универсальным выводом
- Все остальные дифференциалы равны нулю.
Бертло доказывает, что это определение не зависит от выбора V [2] и что для сглаживаемого морфизма полного пересечения этот комплекс совершенен. [3] Кроме того, он доказывает, что если g : Y → Z - другой сглаживаемый морфизм полного пересечения и если выполняется дополнительное техническое условие, то существует точный треугольник
Определение котангенсного комплекса
Правильное определение котангенсного комплекса начинается в гомотопической обстановке . Квиллен и Андре работали с симплициальными коммутативными кольцами, а Иллюзи - с симплициально окольцованными топоями . Для простоты мы будем рассматривать только случай симплициальных коммутативных колец. Предположим, что A и B - симплициальные кольца, а B - A -алгебра. Выберите разрешениеиз B по симплициальными свободных A -алгебрах. Применяя дифференциальный функтор Кэлера кпорождает симплициальный B -модуль. Весь комплекс этого симплициального объекта является кокасательным комплекс L Б / . Морфизм r индуцирует морфизм от комплекса котангенса к Ω B / A, называемый картой дополнения . В гомотопической категории симплициальных A -алгебр (или симплициальных окольцованных топоев) эта конструкция сводится к взятию левого производного функтора от дифференциального функтора Кэлера.
Дан коммутативный квадрат следующим образом:
есть морфизм котангенсных комплексов который уважает карты аугментации. Это отображение строится путем выбора свободной симплициальной резольвенты C- алгебры D , скажем Так как - свободный объект, составной hr можно поднять до морфизмаПрименение функториальности кэлеровых дифференциалов к этому морфизму дает требуемый морфизм кокасательных комплексов. В частности, при заданных гомоморфизмах это дает последовательность
Есть соединительный гомоморфизм,
что превращает эту последовательность в точный треугольник.
Кокасательный комплекс также может быть определен в любом комбинаторной модели категории M . Предположим, чтоморфизм в М . Котангенс комплекс (или же ) является объектом категории спектров в . Пара составных морфизмов, а также индуцирует точный треугольник в гомотопической категории,
Свойства котангенсного комплекса
Смена плоского основания
Предположим, что B и C такие A -алгебры, чтодля всех q > 0 . Тогда есть квазиизоморфизмы [4]
Если C - плоская A -алгебра, то условие, чтообращается в нуль при q > 0 автоматически. Тогда первая формула доказывает, что конструкция котангенсного комплекса локальна на базе в плоской топологии .
Исчезающие свойства
Пусть F : A → B . Затем: [5] [6]
- Если Б является локализация из А , то L B / = 0 .
- Если f - этальный морфизм , то L B / A = 0 .
- Если F является гладкий морфизм , то L B / является квазиизоморфен Ом B / A . В частности, он имеет нулевую проективную размерность .
- Если f - локальный морфизм полного пересечения , то L B / A имеет проективную размерность не более единицы.
- Если A нетерово, B = A / I и I порождается регулярной последовательностью, тоявляется проективным модулем и L B / A квазиизоморфен
Примеры
Плавные схемы
Позволять быть гладким. Тогда котангенс комплекс равен. В рамках теории Бертло это становится ясно, если взять. В общем étale локально на конечномерное аффинное пространство и морфизм является проекцией, поэтому мы можем свести к ситуации, когда а также Мы можем принять решение быть тождественным отображением, и тогда ясно, что котангенсный комплекс совпадает с дифференциалами Кэлера.
Замкнутые вложения в гладкие схемы
Позволять - замкнутое вложение гладких схем в . Используя точный треугольник, соответствующий морфизмам, мы можем определить котангенсный комплекс . Для этого отметим, что в предыдущем примере котангенсные комплексы а также состоят из дифференциалов Кэлера а также в нулевой степени соответственно и равны нулю во всех остальных степенях. Точный треугольник означает, что отличен от нуля только в первой степени, и в этой степени он является ядром отображения Это ядро является конормальным расслоением, а точная последовательность - точной конормальной последовательностью, поэтому в первой степени конормальное расслоение .
Местное полное пересечение
В более общем смысле, локальный морфизм полного пересечения с гладкой мишенью имеет идеальный по амплитуде котангенсный комплекс Это дается комплексом
Например, котангенс скрученной кубики в дается комплексом
Котангенсные комплексы в теории Громова-Виттена
В теории Громова – Виттена математики изучают перечислительные геометрические инварианты n-точечных кривых на пространствах. В общем, есть алгебраические стеки
которые являются пространствами модулей отображений
из рода кривые с прокалывает фиксированную цель. Поскольку перечислительная геометрия изучает типичное поведение таких отображений, теория деформации, управляющая такими проблемами, требует деформации кривой, карта , а целевое пространство . К счастью, всю эту теоретическую информацию о деформации можно отследить с помощью комплекса котангенса. Используя выделенный треугольник
связаны с составом морфизмов
котангенсный комплекс можно вычислить во многих ситуациях. Фактически, для комплексного многообразия, его котангенс-комплекс имеет вид , и гладкий -колотая кривая , это дается . Из общей теории триангулированных категорий котангенс комплекс квазиизоморфен конусу
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
Приложения
- https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for
Обобщения
- Логарифмический комплекс котангенса
- Котангенсный комплекс и спектры Тома
Справка
- Андре, М. (1974), Homologie des Algèbres Commutatives , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 206 , Springer-Verlag
- Бертело, Пьер ; Александр Гротендик , Люк Иллюзи , ред. (1971), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг , xii + 700CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
- Гротендик, Александр ; Dieudonné, Жан (1967), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Quatrième PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 32 : 5-361 , DOI : 10.1007 / BF02732123 , ISSN 1618-1913
- Гротендик, Александр (01.07.1969), Catégories cofibrées adds et complexe cotangent relatif , Lecture Notes in Mathematics 79 (на французском языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04248-8 Проверить значения даты в:
|date=
( помощь ) - Харрисон, DK (1962), "Коммутативные алгебры и когомологий", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 104 (2): 191-204, DOI : 10,2307 / 1993575 , JSTOR 1993575
- Illusie, Luc (2009) [1971], Complexe Cotangent et Déformations I , Lecture Notes in Mathematics 239 (на французском языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
- Лихтенбаум; Шлезингер (1967), «Кокасательное комплекс морфизма», Труды Американского математического общества , 128 : 41-70, DOI : 10,1090 / s0002-9947-1967-0209339-1
- Квиллен, Дэниел (1970), О (ко-) гомологиях коммутативных колец , Proc. Symp. Чистая математика , XVII , Американское математическое общество