В коммутативной алгебре , Андре-Квиллен когомологий является теорией когомологий для коммутативных колец , тесно связанных с кокасательным комплексом . Первые три группы когомологий были введены Стивеном Лихтенбаумом и Майклом Шлессингером ( 1967 ) и иногда называются функторами Лихтенбаума – Шлезингера T 0 , T 1 , T 2 , а высшие группы были определены независимо Мишелем Андре ( 1974 ) и Даниэлем Квилленом (1970 ) с использованием методов теории гомотопии . Он идет с параллельной теорией гомологий, называемой гомологиями Андре – Квиллена .
Мотивация
Пусть A - коммутативное кольцо, B - A -алгебра, M - B -модуль. Группы когомологий Андре – Квиллена являются производными функторами производного функтора Der A ( B , M ). До общих определений Андре и Квиллена долгое время было известно, что для данных морфизмов коммутативных колец A → B → C и C -модуля M существует трехчленная точная последовательность модулей вывода:
Этот член может быть расширен до шестичленной точной последовательности с помощью функтора Exalcomm расширений коммутативных алгебр и девятичленной точной последовательности с использованием функторов Лихтенбаума – Шлезингера . Когомологии Андре – Квиллена расширяют эту точную последовательность еще дальше. В нулевой степени это модуль выводов; в первой степени это Exalcomm; во второй степени это функтор Лихтенбаума – Шлезингера второй степени.
Определение
Пусть B - A -алгебра, и пусть M - B -модуль. Пусть P симплициальный корасслоенная -алгебра разрешение B . Андре записывает q- ю группу когомологий B над A с коэффициентами из M через H q ( A , B , M ) , а Куиллен отмечает ту же группу, что и D q ( B / A , M ) . Д - й группы когомологий Андре-Quillen является:
Пусть L B / Обозначим относительную кокасательный комплекс из B над A . Тогда у нас есть формулы:
Смотрите также
Рекомендации
- Андре, Мишель (1974), Homologie des Algèbres Commutatives , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 206 , Springer-Verlag
- Лихтенбаум, Стивен ; Шлезингер, Майкл (1967), "Кокасательное комплекс морфизма", Труды Американского математического общества , 128 : 41-70, DOI : 10,2307 / 1994516 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994516 , MR 0209339
- Квиллен, Дэниел Г., Гомологии коммутативных колец , неопубликованные заметки, архивировано из оригинала 20 апреля 2015 г.
- Квиллен, Дэниел (1970), О (ко-) гомологиях коммутативных колец , Proc. Symp. Чистая математика , XVII , Американское математическое общество
- Weibel, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембридж исследования в высшей математике, 38 , Cambridge University Press , DOI : 10,1017 / CBO9781139644136 , ISBN 978-0-521-43500-0, MR 1269324