В алгебраической геометрии , морфизм между схемами называется гладкой , если
- (i) локально конечного представления
- (ii) он плоский , и
- (iii) для каждой геометрической точки слой регулярен.
(iii) означает, что каждый геометрический слой f является неособым многообразием (если он отделен). Таким образом, интуитивно говоря, гладкий морфизм дает плоское семейство неособых многообразий.
Если S - спектр алгебраически замкнутого поля и f имеет конечный тип, то восстанавливается определение неособого многообразия.
Эквивалентные определения [ править ]
Есть много эквивалентных определений гладкого морфизма. Позвольте быть локально конечного представления. Тогда следующие эквивалентны.
- f гладкая.
- f формально гладкая (см. ниже).
- f является плоским, а пучок относительных дифференциалов локально свободен от ранга, равного относительной размерности .
- Для любого , существует окрестность точки х и окрестность из таких , что и идеала , порожденные м матрицы с размерностью м минорами является Б .
- Локально f учитывается в том, где g является этальным.
- Локально f учитывается в том, где g является этальным.
Морфизм конечного типа этален тогда и только тогда, когда он гладкий и квазиконечный .
Гладкий морфизм устойчив при изменении основания и композиции. Гладкий морфизм локально имеет конечное представление.
Гладкий морфизм универсально локально ацикличен .
Примеры [ править ]
Предполагается, что гладкие морфизмы геометрически соответствуют гладким субмерсиям в дифференциальной геометрии; т.е. они являются гладкими локально тривиальными расслоениями над некоторым базовым пространством (по теореме Эресмана).
Плавный морфизм до точки [ править ]
Пусть - морфизм схем
Он гладкий из-за условия якобиана: матрица Якоби
обращается в нуль в точках, которые имеют пустое пересечение с многочленом, так как
которые оба не равны нулю.
Тривиальные волокна [ править ]
Для гладкой схемы проекционный морфизм
гладко.
Векторные пакеты [ править ]
Каждое векторное расслоение над схемой является гладким морфизмом. Например, можно показать, что ассоциированное векторное расслоение над является взвешенным проективным пространством за вычетом точки
отправка
Обратите внимание, что пучки с прямой суммой могут быть построены с использованием волоконного произведения
Разделимые расширения полей [ править ]
Напомним, что расширение поля называется сепарабельным, если и только если дано представление
у нас это есть . Мы можем переинтерпретировать это определение в терминах кэлеровых дифференциалов следующим образом: расширение поля сепарабельно тогда и только тогда, когда
Обратите внимание, что сюда входят все совершенные поля: конечные поля и поля характеристики 0.
Без примеров [ править ]
Особые разновидности [ править ]
Если мы рассматриваем базовую алгебру для проективного многообразия , называемого аффинным конусом многообразия , то точка в начале координат всегда особа. Например, рассмотрим аффинный конус пятикратного многообразия, заданный формулой
Тогда матрица Якоби имеет вид
которое обращается в нуль в нуле, следовательно, конус особый. Подобные аффинные гиперповерхности популярны в теории особенностей из-за их относительно простой алгебры, но богатой базовой структуры.
Другой пример особого многообразия - проективный конус гладкого многообразия: для данного гладкого проективного многообразия его проективный конус - это объединение всех пересекающихся прямых . Например, проективный конус точек
это схема
Если мы посмотрим на график, это схема
и спроецируем его вниз на аффинную прямую , это семейство из четырех точек, вырождающихся в начале координат. Неособенность этой схемы также можно проверить с помощью условия якобиана.
Вырождающиеся семьи [ править ]
Рассмотрим плоскую семью
Тогда волокна все гладкие, за исключением точки в начале координат. Поскольку гладкость устойчива при замене базы, это семейство не является гладким.
Неразделимые расширения полей [ править ]
Например, поле неразделимо, поэтому связанный с ним морфизм схем негладкий. Если мы посмотрим на минимальный многочлен расширения поля,
тогда , следовательно, дифференциалы Кэлера будут отличны от нуля.
Формально гладкий морфизм [ править ]
Можно определить гладкость без привязки к геометрии. Будем говорить , что S -схема X является формально гладкой , если для любого аффинного S -схема T и подсхемы из Т задается нильпотентнои идеалом, сюръективна , где мы писали . Тогда морфизм локально конечного типа является гладким тогда и только тогда, когда он формально гладкий.
В определении «формально гладкого», если мы заменим сюръективное на «биективное» (соответственно «инъективное»), то мы получим определение формально этального (соответственно формально неразветвленного ).
Плавная смена базы [ править ]
Пусть S - схема и обозначает изображение структурной карты . Теорема о гладкой замене базы утверждает следующее: пусть - квазикомпактный морфизм , гладкий морфизм и торсионный пучок на . Если для каждого дюйма , инъективно, то база изменение морфизм является изоморфизмом.
См. Также [ править ]
- гладкая алгебра
- регулярное вложение
- Формально гладкая карта
Ссылки [ править ]
- Дж. С. Милн (2012). « Лекции по этальным когомологиям »
- Дж. С. Милн. Étale cohomology , том 33 Принстонской математической серии. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1980.