В математике теорема базы изменений связывают прямое изображение и инерционные из пучков . Точнее, они касаются карты смены базы, задаваемой следующим естественным преобразованием пучков:
где
- декартов квадрат топологических пространств иявляется пучок на X .
Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по существу произвольных) топологических пространств и собственных отображений f , в алгебраической геометрии для (квази) когерентных пучков и собственно f или g плоской, аналогично в аналитической геометрии , но также и для этальных пучков для f или собственно г гладкой.
Вступление
Феномен простой замены базы возникает в коммутативной алгебре, когда A - коммутативное кольцо, а B и A ' - две A -алгебры. Позволять. В этой ситуации для B -модуля M существует изоморфизм ( A′ - модулей):
Здесь нижний индекс указывает на забывчивый функтор, т. Е. есть M , но рассматривается как A -модуль. Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением
Таким образом, две операции, а именно забывчивые функторы и тензорные произведения, коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма. Обсуждаемые ниже теоремы об замене базы являются утверждениями аналогичного типа.
Определение базовой карты изменения
Все теоремы об изменении базы, представленные ниже, утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений), что следующее отображение изменения базы
является изоморфизмом, где
являются непрерывными отображениями между топологическими пространствами, образующими декартов квадрат иявляется пучок на X . [1] Здесьозначает более высокое прямое изображение изпод f , т. е. производный функтор прямого изображения (также известного как pushforward) функтора.
Это отображение существует без каких-либо предположений относительно отображений f и g . Он построен следующим образом: посколькуслева примыкает к, есть естественная карта (называемая единичной картой)
и другие
Затем спектральная последовательность Гротендика дает первую карту и последнюю карту (это карты ребер) в:
В сочетании с вышеперечисленными доходами
Используя сопряженность а также наконец дает желаемую карту.
Упомянутый выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем и следовательно, , а квазикогерентный пучок ассоциированный с B - модуля M .
Концептуально удобно организовать приведенные выше карты изменения базы, которые включают только один более высокий функтор прямого изображения, в одну, которая кодирует все вовремя. Фактически, аналогичные рассуждения, приведенные выше, дают отображение в производной категории пучков на S ':
где обозначает (тотальный) производный функтор от .
Общая топология
Правильная смена базы
Если X - хаусдорфово топологическое пространство , S - локально компактное хаусдорфово пространство и f универсально замкнуто (т. Е.это закрытая карта для любого непрерывного отображения), то карта изменения базы
является изоморфизмом. [2] Действительно, имеем: для,
и так для
Чтобы закодировать все отдельные высшие производные функторы в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что базовая карта изменений
является квазиизоморфизмом .
Предположение о том, что рассматриваемые пространства являются хаусдорфовыми, были ослаблены Schnürer & Soergel (2016) .
Лурье (2009) распространил вышеупомянутую теорему на когомологии неабелевых пучков , т. Е. Пучки, принимающие значения в симплициальных множествах (в отличие от абелевых групп). [3]
Прямое изображение с компактной опорой
Если карта f не замкнута, карта изменения базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):
Один с одной стороны всегда равно нулю, но если это локальная система начто соответствует представлению о фундаментальных группы (который изоморфен Z ), томожет быть вычислен как инварианты в монодромии действияна стебле (для любой ), которые не обязательно исчезают.
Чтобы получить результат замены базы, функтор (или его производный функтор) необходимо заменить прямым образом с компактным носителем . Например, если является включением открытого подмножества, такого как в приведенном выше примере, является продолжением нулем, т. е. его стебли имеют вид
В общем есть карта , который является квазиизоморфизмом, если f является собственным, но не в общем случае. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм [4]
Замена базы для квазикогерентных пучков
Правильная смена базы
Правильные теоремы о замене базы для квазикогерентных пучков применимы в следующей ситуации:является собственным морфизмом между нётеровыми схемами , иявляется когерентным пучком , который является плоским над S (т.е.является плоским над). В этой ситуации верны следующие утверждения: [5]
- «Теорема полунепрерывности»:
- Для каждого , функция сверху полунепрерывны .
- Функция локально постоянна, где обозначает эйлерову характеристику .
- « Теорема Грауэрта »: если S приведено и связно, то для каждого следующие эквивалентны
- постоянно.
- локально бесплатно и естественная карта
- является изоморфизмом для всех .
- Кроме того, если эти условия выполнены, то естественное отображение
- является изоморфизмом для всех .
- Если для некоторого p , для всех , то естественное отображение
- является изоморфизмом для всех .
Как стебель снопатесно связано с когомологиями слоя точки под f , это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с расширением базы». [6]
Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где в дополнение к сделанным выше предположениям : существует конечный комплекс из конечно порожденных проективных A -модулей и естественный изоморфизм функторов
по категории -алгебры.
Смена плоского основания
Карта изменения базы
является изоморфизмом квазикогерентного пучка (на ) при условии, что карта является плоским (вместе с рядом технических условий: f должен быть отдельным морфизмом конечного типа , задействованные схемы должны быть нётеровыми). [7]
Изменение плоской базы в производной категории
При рассмотрении карты изменения базы возможно далеко идущее расширение плоского базового изменения.
в производной категории пучков на S ', как указано выше. Здесь является (полным) производным функтором обратного преобразования -модули (потому что включает тензорное произведение, не является точным, когда g не является плоским, и поэтому не равен производному функтору). Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий: [8]
- квазикомпактен и квазикомпактен и квази разделен,
- это объект в , ограниченная производная категория -модули и его когомологические пучки квазикогерентны (например, может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)
- а также не зависят от Tor над, что означает, что если а также удовлетворить , то для всех целых чисел ,
- .
- Выполняется одно из следующих условий:
- имеет конечную плоскую амплитуду относительно , что означает, что он квазиизоморфен в к сложному такой, что является -квартира для всех вне некоторого ограниченного интервала ; эквивалентно, существует интервал такое, что для любого комплекса в , надо для всех за пределами ; или же
- имеет конечную Tor-размерность, что означает, что имеет конечную плоскую амплитуду относительно .
Одним из преимуществ этой формулировки является ослабление гипотезы плоскостности. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется спектральная последовательность Гротендика .
Базовое изменение в производной алгебраической геометрии
Полученная алгебраическая геометрия позволяет отказаться от предположения о плоскостности при условии, что откатзаменяется гомотопическим откатом . В простейшем случае, когда X , S иявляются аффинными (с обозначениями, как указано выше), гомотопический откат задается производным тензорным произведением
Затем, предполагая, что используемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) являются квазикомпактными и квазиразделенными, естественное преобразование
является квазиизоморфизмом для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, комплексом квазикогерентных пучков. [9] Вышеупомянутый результат плоской замены базы на самом деле является частным случаем, поскольку для g flat гомотопический откат (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным откатом (локально задается не производным тензорным произведением), и поскольку откат вдоль плоских отображений g и g ' выводится автоматически (т. е.). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме об изменении базы, также становятся ненужными.
В приведенной выше форме изменение базы было расширено Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) на ситуацию, когда X , S и S ' являются (возможно, производными) стеками , при условии, что карта f является идеальной картой (которая включает в себя случай, когда F является квазикомпактно, квази-картой разделенных схем, но также включает в себя более общие стеки, такие как стек классифицирующего BG в качестве алгебраической группы в характеристике нуля).
Варианты и приложения
Правильная замена базы также имеет место в контексте комплексных многообразий . [10] теорема о формальных функциях является вариантом надлежащей замены базовой, где откат заменяются на завершение операции.
Принцип качелей и теорема кубы , которые являются основополагающими фактами в теории абелевых многообразий , является следствием правильной замены базы. [11]
Замена базы также выполняется для D-модулей : если X , S , X ' и S' - гладкие многообразия (но f и g не обязательно должны быть плоскими или собственными и т. Д.), Существует квазиизоморфизм
где а также обозначим функторы обратного и прямого изображений для D -модулей. [12]
Замена базы для эталонных шкивов
Для эталонных торсионных шкивов , есть два результата изменения базы, называемые соответственно правильным и плавным изменением базы: изменение базы выполняется, еслиявляется надлежащим . [13] Кроме того , имеет место , если г является гладким , при условии , что е квазикомпактно и при условии , что кручениепервична к характеристике из полей вычетов из X . [14]
С собственной заменой базы тесно связан следующий факт (две теоремы обычно доказываются одновременно): пусть X - многообразие над сепарабельно замкнутым полем иконструктивны пучок на. потом конечны в каждом из следующих случаев:
- X завершен, или
- не имеет p -кручения, где p - характеристика k .
При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространил теорему о собственном изменении базы на этальные пучки без кручения.
Приложения
По аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, карта смены базы для открытого погружения f ,
обычно не является изоморфизмом. [15] Вместо расширения с помощью нулевого функтора удовлетворяет изоморфизму
Этот факт и соответствующая замена базы предлагают определить функтор прямого изображения с компактным носителем для отображения f следующим образом:
где является компактификацией из F , то есть, разложение в открытое погружения с последующим надлежащей картой. Правильная теорема о замене базы необходима, чтобы показать, что она определена корректно, т. Е. Не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации. Более того, снова по аналогии со случаем пучков на топологическом пространстве формула замены базы для против. верно для несобственных отображений f .
Для структурной карты схемы над полем k отдельные когомологии, обозначаемый называемые когомологиями с компактным носителем . Это важный вариант обычных этальных когомологий .
Подобные идеи используются и для построения аналога функтора в теории A 1 -гомотопий . [16] [17]
Смотрите также
- Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии
- Смена базы (значения)
- Лифтинг изменения базы автоморфных форм
дальнейшее чтение
- Esnault, H .; Kerz, M .; Виттенберг, О. (2016), "Изоморфизм ограничения для циклов относительной размерности ноль", Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310 / CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID 54896268
Заметки
- ^ Роли а также симметричны, и в некоторых контекстах (особенно с плавным изменением базы) более знакомой является другая формулировка (вместо этого используется карта для связка на ). Для согласованности все результаты в этой статье ниже приведены для одной и той же ситуации, а именно для карты.; но читатели должны обязательно сравнить это со своими ожиданиями.
- ^ Милн (2012 , теорема 17.3)
- ^ Лурье (2009 , теорема 7.3.1.16)
- ^ Iversen (1986) предполагается, что четыре пространства локально компактны и имеют конечную размерность.
- ↑ Grothendieck (1963 , раздел 7.7), Hartshorne (1977 , теорема III.12.11), Vakil (2015 , глава 28, теоремы о когомологиях и замене базы )
- ↑ Хартсхорн (1977 , с. 255)
- ^ Хартсхорн (1977 , предложение III.9.3)
- Перейти ↑ Berthelot, Grothendieck & Illusie (1971 , SGA 6 IV, Proposition 3.1.0)
- ^ Тоэн (2012 , предложение 1.4)
- ^ Грауэрт (1960)
- ^ Мамфорд (2008)
- ^ Hotta, Takeuchi & Tanisaki (2008 , теорема 1.7.3)
- ↑ Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XII), Милн (1980 , раздел VI.2)
- ↑ Артин, Гротендик и Вердье (1972 , Exposé XVI)
- ^ Милн (2012 , пример 8.5)
- ^ Аюб, Джозеф (2007), «Шесть операций Гротендика и формализм évanescents dans le monde motivique». I. , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-244-0, Zbl 1146,14001
- ^ Cisinski, Denis-Charles; Деглиз, Фредерик (2019), Триангулированные категории смешанных мотивов , Монографии Спрингера по математике, arXiv : 0912.2110 , Bibcode : 2009arXiv0912.2110C , doi : 10.1007 / 978-3-030-33242-6 , ISBN 978-3-030-33241-9, S2CID 115163824
Рекомендации
- Артин, Майкл ; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF) , Конспект лекций по математике (на французском языке), 305 , Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Vi + 640, doi : 10.1007 / BFb0070714 , ISBN 978-3-540-06118-2
- Бен-Цви, Давид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Математика. Soc. , 23 (4): 909-966, Arxiv : 0805,0157 , DOI : 10,1090 / S0894-0347-10-00669-7 , МР 2669705 , S2CID 2202294
- Бертело, Пьер ; Гротендик, Александр ; Illusie, Luc (1971), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , xii + 700, doi : 10.1007 / BFb0066283 , ISBN 978-3-540-05647-8
- Deninger, Кристофер (1988), "Надлежащая теорема о замене базы для не-торсионных пучков в этальной когомологиях", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 50 (3): 231-235, DOI : 10,1016 / 0022-4049 (88) 90102 -8
- Габбер, " Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем "
- Грауэрт, Ганс (1960), "Ein теорема дер analytischen Garbentheorie унд умереть Modulräume komplexer Strukturen" (PDF) , публикации Mathématiques де l'IHES , 5 : 5-64, DOI : 10.1007 / BF02684746 , S2CID 122593346 , Zbl 0100,08001
- Гротендик, А. (1963), "Элементы геометрии algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II" , Publ. Математика. IHES , заархивировано из оригинала 5 января 2017 г. , извлечено 4 января 2017 г.
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157 , OCLC 13348052
- Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008),D- модули, извращенные пучки и теория представлений , Биркхойзер.
- Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
- Лурье, Яков (2009), Высшая теория Топос , Анналы математики исследований, 170 , Princeton University Press , Arxiv : math.CT / 0608040 , DOI : 10,1515 / 9781400830558 , ISBN 978-0-691-14049-0, Руководство по ремонту 2522659
- Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
- Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
- Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в математике Тата, 5 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-81-85931-86-9, Руководство по ремонту 0282985 , OCLC 138290
- Тоен, Бертран (2012), Собственные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы , arXiv : 1210.2827 , Bibcode : 2012arXiv1210.2827T
- Шнюрер, ОМ; Soergel, W. (2016), «Правильная смена базы для отдельных локально правильных карт», Rend. Семин. Мат. Univ. Падуя , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171 / RSMUP / 135-13 , S2CID 118024164
- Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)
Внешние ссылки
- Рекламный проспект Брайана Конрада
- Проблема с полунепрерывностью