В математике , в области теории пучков и особенно в алгебраической геометрии , то функтор прямым образом обобщает понятие сечения пучка на относительный случай.
Определение
Пусть F : X → Y является непрерывным отображением из топологических пространств , и Ш. (-) обозначает категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Прямым образом функтор
посылает пучок F на X в свой предпучок прямого образа, который определен на открытых подмножествах U в Y формулой
который оказывается пучком на Y , также называемым пучком прямого распространения .
Это назначение функториальна, т.е. морфизм пучков φ: F → G на X порождает морфизм пучков ф * (ф): F * ( F ) → F * ( G ) на Y .
Пример
Если Y - точка, то прямое изображение равно функтору глобальных сечений . Пусть f: X → Y - непрерывное отображение топологических пространств или морфизм схем. Тогда исключительный прообраз - это функтор f ! : D (Y) → D (X).
Варианты
Аналогичное определение применяется к пучкам на вершинах , таких как этальные пучки . Вместо выше прообраза F -1 ( U ) Волокнистый продукт из U и X над Y используется.
Более высокие прямые изображения
Функтор прямого изображения точен слева , но обычно не точен справа. Следовательно, можно рассматривать правые производные функторы прямого образа. Они называются высшими прямыми образами и обозначаются R q f ∗ .
Можно показать, что существует выражение, аналогичное приведенному выше, для более высоких прямых изображений: для пучка F на X , R q f ∗ ( F ) - это пучок, связанный с предпучком
Характеристики
- Функтор прямого образа сопряжен справа с функтором обратного образа , что означает, что для любого непрерывного и снопы соответственно на X , Y существует естественный изоморфизм:
- .
- Если f - включение замкнутого подпространства X ⊆ Y, то f ∗ точное. На самом деле, в этом случае F * является эквивалентность между пучками на X и пучками на Y , нанесенных на X . Это следует из того, что стебель является если и ноль в противном случае (здесь используется замкнутость X в Y ).
Смотрите также
Рекомендации
- Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190, особенно Раздел II.4
Эта статья включает материал из прямого изображения (функтора) с сайта PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .