В математике , А пучок представляет собой инструмент для систематического отслеживания данных (например, наборы, абелевых группы, кольца) , прикрепленные к открытым множествам одного топологического пространства и определенные локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого множества, данные могут быть кольцо из непрерывных функций , определенных на этом открытом множестве. Такие данные имеют хорошее поведение в том смысле, что их можно ограничить меньшими открытыми наборами, а также данные, назначенные открытому набору, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, назначенных коллекциям меньших открытых наборов, охватывающих исходный открытый набор (интуитивно понятно, что каждый данных - это сумма его частей.).
Под связками концептуально понимаются общие и абстрактные объекты. Их правильное определение носит скорее технический характер. Они конкретно определены как связки наборов или связки колец, например, в зависимости от типа данных, назначенных открытым наборам.
Существуют также отображения (или морфизмы ) одного пучка в другой; пучки (определенного типа, например пучки абелевых групп ) с их морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . С другой стороны, с каждым непрерывным отображением связан как функтор прямого изображения , переводящий пучки и их морфизмы в области в пучки и морфизмы в области , так и функтор обратного изображения, действующий в противоположном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются существенной частью теории пучков.
Из-за их общей природы и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии, особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии . Во-первых, геометрические структуры, такие как структура дифференцируемого многообразия или схемы, могут быть выражены в терминах пучка колец на пространстве. В таких контекстах некоторые геометрические конструкции, такие как векторные расслоения или делители , естественно задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий , которая охватывает также «обычные» топологические теории когомологий, такие как особые когомологии . Пучковые когомологии, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также составляют основу теории D- модулей , которая обеспечивает приложения к теории дифференциальных уравнений . Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика , предоставили приложения к математической логике и теории чисел .
Определения и примеры
Во многих областях математики несколько структур, определенных в топологическом пространстве. (например, дифференцируемое многообразие ) может быть естественным образом локализован или ограничен для открытых подмножеств : типичные примеры включают непрерывные действительные или комплексные функции,раз дифференцируемые (действительные или комплексные) функции, ограниченные действительные функции, векторные поля и сечения любого векторного расслоения на пространстве. Возможность ограничивать данные меньшими открытыми подмножествами дает начало концепции предварительных пучков. Грубо говоря, связки - это те предварительные пучки, в которых локальные данные могут быть приклеены к глобальным данным.
Предварительные пучки
Позволять быть топологическим пространством. Предварительный пучок наборов на состоит из следующих данных:
- Для каждого открытого набора из , множество . Этот набор иногда также обозначают. Элементы этого множества называются секции по над .
- Для каждого включения открытых множеств , функция . Ввиду многих приведенных ниже примеров морфизмыназываются ограничительными морфизмами . Если, то его ограничение часто обозначается по аналогии с ограничением функций.
Ограничительные морфизмы должны удовлетворять двум дополнительным ( функториальным ) свойствам:
- Для каждого открытого набора из , морфизм ограничения морфизм тождества на .
- Если у нас есть три открытых набора , то композит
Неформально вторая аксиома говорит , что это не имеет значения , является ли мы ограничиться W в одном шаге или ограничить сначала V , затем W . Краткая функциональная переформулировка этого определения дается ниже.
Многие примеры предпучков относятся к разным классам функций: к любым , можно присвоить множество непрерывных действительных функций на . Карты ограничения тогда просто задаются ограничением непрерывной функции на к меньшему открытому подмножеству , которая снова является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка сразу проверяются, что дает пример предпучка. Его можно продолжить до пучка голоморфных функций и пучок гладких функций .
Другой распространенный класс примеров - присвоение множество констант вещественных функций на U . Этот предварительный пучок называется постоянным предварительным пучком, связанным с и обозначается .
Шкивы
При наличии предпучка возникает естественный вопрос: в какой степени его секции над открытым множеством? определены их ограничениями на меньшие открытые множества из открытой крышки из . Пучок является предпучком который удовлетворяет следующих два дополнительных аксиом:
- ( Населенный пункт ) Еслиоткрытое покрытие открытого множества, и если иметь собственность для каждого набора покрытия, то ; а также
- ( Склейка ) Если открытое покрытие открытого множества , а если для каждого секция задается так, что для каждой пары покрытия задает ограничения а также договориться о перекрытиях, так что , то есть раздел такой, что для каждого .
Секция существование которой гарантируется аксиомой 2, называется склейкой , конкатенацией или сопоставлением секций s i . По аксиоме 1 он единственен. Разделыудовлетворяющие условию аксиомы 2 часто называют совместимыми ; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что совместимые секции могут быть однозначно склеены . Разделен предпучок или monopresheaf , является предпучком удовлетворяющей аксиомы 1. [1]
Упомянутый выше предпучок, состоящий из непрерывных функций, является пучком. Это утверждение сводится к проверке того, что для непрерывных функций которые согласовывают пересечения , существует единственная непрерывная функция чье ограничение равно . Напротив, постоянный предпучок обычно не является связкой: еслиявляется несвязным объединением двух открытых подмножеств ипринимают разные значения, то на U не существует постоянной функции , ограничение которой равнялось бы этим двум (различным) постоянным функциям.
Предварительные пучки и связки обычно обозначаются заглавными буквами, особенно часто встречается F , предположительно для французского слова, обозначающего связку, faisceau . Использование каллиграфических букв, таких как также обычное дело.
Можно показать, что для определения связки достаточно указать ее ограничение открытыми наборами основы для топологии нижележащего пространства. Более того, можно также показать, что достаточно проверить указанные выше аксиомы пучка относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, который имеет решающее значение в алгебраической геометрии, а именно квазикогерентных пучков . Здесь топологическое пространство , в котором идет речь спектр коммутативного кольца R , точки которого являются простыми идеалами р в R . Открытые наборысоставляют основу топологии Зарисского на этом пространстве. Для R -модуля M существует пучок, обозначаемыйна Spec R , что удовлетворяет
- локализации из M на F .
Дальнейшие примеры
Связка участков непрерывной карты
Любая непрерывная карта топологических пространств определяет пучок на установив
Любая такая обычно называется раздел из, и этот пример является причиной того, почему элементы в обычно называются секциями. Эта конструкция особенно важна, когда- проекция расслоения на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций - это сечения тривиального расслоения . Другой пример: связка секций
связка, присваивающая любому множество ветвей комплексного логарифма на.
Принимая во внимание точку х и абелевой группы S , тем небоскреба пучок S х определяется следующим образом : Если U представляет собой открытое множество , содержащее х , то S х ( U ) = S . Если U не содержит x , то S x ( U ) = 0, тривиальная группа . Карты ограничений являются либо идентичными на S , если оба открытых множества содержат x , либо нулевым отображением в противном случае.
Пучки на коллекторах
На n -мерном C k -многообразии M имеется ряд важных пучков, например пучок j- кратно непрерывно дифференцируемых функций(при j ≤ k ). Ее разделы на некотором открытом U являются C J -функции U → R . При j = k этот пучок называется структурным пучком и обозначается. Ненулевые функции C k также образуют пучок, обозначаемый. Дифференциальные формы (степени р ) также образуют пучок Ом р М . Во всех этих примерах ограничивающие морфизмы задаются ограничивающими функциями или формами.
Присваивание, отправляющее U функциям с компактным носителем на U , не является пучком, поскольку, как правило, нет способа сохранить это свойство, переходя к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого это образует пучок , двойную концепцию, в которой карты ограничения идут в противоположном направлении, чем пучки. [2] Однако, взяв двойное из этих векторных пространств, действительно дает пучок, пучок распределений .
Предварительные пучки, не являющиеся пучками
В дополнение к постоянному предварительному пучку, упомянутому выше, который обычно не является связкой, есть другие примеры предварительных пучков, которые не являются пучками:
- Позволять быть двухточечный топологическое пространство с дискретной топологией. Определить предпучокследующим образом : F (∅) = {∅}, Р ({ х }) = Р , Р ({ у }) = Р , Р ({ х , у }) = R × R × R . Отображение ограничения F ({ x , y }) → F ({ x }) является проекцией R × R × R на его первую координату, а отображение ограничения F ({ x , y }) → F ({ y } ) - проекция R × R × R на его вторую координату.является предварительным пучком, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела над { x } и { y } определяют только два из этих чисел. Таким образом, хотя мы можем склеить любые две секции поверх { x } и { y }, мы не можем склеить их однозначно.
- Позволять быть настоящей линией , и пусть- множество ограниченных непрерывных функций на. Это не связка, потому что не всегда можно склеить. Например, пусть U i будет множеством всех x таких, что | х | < я . Тождественная функция f ( x ) = x ограничена на каждом U i . Следовательно, мы получаем сечение s i на U i . Однако эти участки не склеивают, потому что функция f не ограничена на вещественной прямой. Следовательно, F - предпучок, а не пучок. Фактически, F разделен, потому что это подпучок пучка непрерывных функций.
Мотивирующие пучки из сложных аналитических пространств и алгебраической геометрии
Одним из исторических мотивов пучков исходить из изучения комплексных многообразий , [3] комплексная аналитическая геометрии , [4] и теории схемы из алгебраической геометрии . Это потому, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство вместе со связкой конструкции придавая ему структуру комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком важна для теории локально окольцованных пространств (см. Ниже).
Технические проблемы со сложными коллекторами
Одной из главных исторических причин введения пучков было создание устройства, отслеживающего голоморфные функции на комплексных многообразиях . Например, на компактном комплексном многообразии(как комплексное проективное пространство или множество исчезающих однородных многочленов ), единственные голоморфные функции
- функции констант. [5] Это означает, что могут существовать два компактных комплексных многообразия. которые не изоморфны, но тем не менее их кольцо глобальных голоморфных функций, обозначаемых , изоморфны. Сравните это с гладкими многообразиями, где каждое многообразие могут быть встроены в некоторые , следовательно, его кольцо гладких функций происходит из-за ограничения гладких функций из . Еще одна сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии дается достаточно маленький открытый набор , голоморфные функции будут изоморфны . Пучки - прямой инструмент для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру на лежащем в основе топологическом пространстве на произвольных открытых подмножествах . Это означает, что как становится более сложным топологически, кольцо можно выразить приклеиванием . Отметим, что иногда этот пучок обозначают или просто , или даже когда мы хотим подчеркнуть пространство, с которым связан структурный пучок.
Следящие подмногообразия со связками
Другой распространенный пример пучков можно построить, рассматривая комплексное подмногообразие . Есть ассоциированная связка который принимает открытое подмножество и дает кольцо голоморфных функций на . Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует многие гомологические алгебры, такие как когомологии пучков, поскольку теория пересечений может быть построена с использованием этих видов пучков из формулы пересечения Серра.
Операции со связками
Морфизмы
Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая не имеет дополнительной структуры, морфизмы пучков - это те функции, которые сохраняют структуру, присущую пучкам. Эта идея уточняется в следующем определении.
Пусть F и G два пучка на X . морфизм состоит из морфизма для каждого открытого множества U из X при условии, что этот морфизм совместим с ограничениями. Другими словами, для каждого открытого подмножества V открытого множества U следующая диаграмма коммутативна .
Например, взятие производной дает морфизм пучков на R :Действительно, для ( n- кратно непрерывно дифференцируемой) функции(с открытым U в R ), ограничение (на меньшее открытое подмножество V ) его производной равно производной от.
С этим понятием морфизма пучки на фиксированном топологическом пространстве X образуют категорию . Таким образом, к пучкам можно применить общие категориальные понятия моно- , эпи- и изоморфизмов . Морфизм связки является изоморфизмом (соответственно мономорфизмом) тогда и только тогда, когда каждый является биекцией (соответственно инъективным отображением). Более того, морфизм пучков является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует открытое покрытие такой, что являются изоморфизмами пучков для всех . Это утверждение, которое также верно для мономорфизмов, но не верно для предпучков, является еще одним примером идеи о том, что пучки имеют локальную природу.
Соответствующие утверждения не верны для эпиморфизмов (пучков), и их несостоятельность измеряется когомологиями пучков .
Стебли связки
стебель связки фиксирует свойства пучка «вокруг» точки x ∈ X, обобщая ростки функций . Здесь «вокруг» означает, что, концептуально говоря, человек смотрит на все меньшие и меньшие окрестности точки. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, что требует учета какого-либо ограничения. Точнее, стебель определяется по
прямой предел будучи более всех открытых подмножеств X , содержащих данную точку х . Другими словами, элемент стебля задается участком над некоторой открытой окрестностью точки x , и два таких участка считаются эквивалентными, если их ограничения согласуются с меньшей окрестностью.
Естественный морфизм F ( U ) → F x переводит сечение s в F ( U ) в его росток в точке x. Это обобщает обычное определение ростка .
Во многих ситуациях знания стеблей снопа достаточно, чтобы управлять самим снопом. Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле связка определяется ее стеблями, которые являются локальными данными. Напротив, глобальная информация, представленная в связке, т. Е. В глобальных секциях , т. Е. Секцияхна всем пространстве X , как правило, несут меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия X глобальные сечения пучка голоморфных функций равны C , поскольку любая голоморфная функция
постоянна по теореме Лиувилля . [5]
Превращение предпучка в пучок
Часто бывает полезно взять данные, содержащиеся в предпучке, и выразить ее в виде связки. Оказывается, есть лучший способ сделать это. Он принимает предпучок F и производит новый пучок аР назвал sheafification или пучок , ассоциированный с предпучкой F . Например, связка постоянного предпучка (см. Выше) называется постоянным пучком . Несмотря на название, его разделы являются локально постоянными функциями.
Пучок ар может быть построен с использованием этальных пространства из F , а именно как пучок сечений карты
Другая конструкция связки aF осуществляется с помощью функтора L от предпучков к предпучкам, что постепенно улучшает свойства предпучка: для любого предпучка F , LF - это отдельный предпучок, а для любого отделенного предпучка F , LF - это пучок. Соответствующий пучок aF задается LLF . [6]
Идея о том, что пучок aF является наилучшим приближением к F пучком, уточняется благодаря следующему универсальному свойству : существует естественный морфизм предпучковтак что для любого пучка G и любого морфизма предпучков, существует уникальный морфизм пучков такой, что . Фактически a - левый сопряженный функтор к функтору включения (или функтору забывания ) из категории пучков в категорию предпучков, а i - единица присоединения. Таким образом, категория пучков превращается в подкатегорию предпучков Жиро . Эта категоричная ситуация является причиной того, что функтор пучков появляется при построении коядров морфизмов пучков или тензорных произведений пучков, но не, скажем, для ядер.
Подпучки, частные пучки
Если K - подпучок пучка F абелевых групп, то фактор-пучок Q - это пучок, связанный с предпучком; другими словами, фактор-пучок укладывается в точную последовательность пучков абелевых групп;
(это также называется расширением пучка .)
Пусть F , G - пучки абелевых групп. Наборморфизмов пучков из F в G образует абелеву группу (в силу абелевой групповой структуры группы G ). Пучок рупор из F и G , обозначаемый,
пучок абелевых групп где пучок на U, заданный формулой(Обратите внимание, что связка здесь не требуется). Прямая сумма F и G - это пучок, заданный формулой, а тензорное произведение F и G - пучок, связанный с предпучком.
Все эти операции распространяются на пучки модулей над пучком колец A ; вышесказанное является частным случаем, когда A - постоянный пучок .
Базовая функториальность
Поскольку данные (предпучка) зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки на разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, учитывая непрерывное отображение f : X → Y между двумя топологическими пространствами, прямой и обратный вызов связывают пучки на X с пучками на Y и наоборот.
Прямое изображение
Перемещение вперед (также известное как прямое изображение ) связкина X - пучок, определяемый
Здесь V - открытое подмножество Y , так что его прообраз открыт в X в силу непрерывности f . Эта конструкция восстанавливает сноп небоскреба. упомянутое выше:
где - включение, а S рассматривается как пучок на одноэлементном элементе (по.
Для отображения между локально компактными пространствами , то прямое изображением с компактным носителем является подпучком прямым образом. [7] По определению, состоит из тех чья поддержка является собственным отображением над V . Если f сам по себе, то, но в целом они не согласны.
Обратное изображение
Обратный образ или обратное изображение идут в обратном направлении: он создает пучок на X , обозначенный из связки на Y . Если f является включением открытого подмножества, то прообраз является просто ограничением, т. Е. Задается формулойдля открытого U в X . Пучок F (на некотором пространстве X ) называется локально постоянным, если некоторыми открытыми подмножествами такая, что ограничение F на все эти открытые подмножества постоянно. Один широкий спектр топологических пространств X , такие пучки эквивалентны для представлений о фундаментальных группы .
Для общих отображений f определениеболее вовлечен; это подробно описано в функторе обратного изображения . Стебель является важным частным случаем отката ввиду естественной идентификации, где i такое же, как указано выше:
В целом стебли удовлетворяют .
Продление на ноль
Для включения открытого подмножества расширение нулем пучка абелевых групп на U определяется как
- если а также иначе.
Для связки на X эта конструкция в некотором смысле дополняет, где является включением дополнения к U :
- для x в U , и стебель в противном случае равен нулю, в то время как
- для x в U и равно иначе.
Эти функторы поэтому полезны для сведения теоретико-пучковых вопросов о X к вопросам о стратификации , т. Е. О разложении X на более мелкие локально замкнутые подмножества.
Дополнения
Пучки в более общих категориях
В дополнение к (предварительным) пучкам, указанным выше, где это просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру в этих разделах. Например, сечения пучка непрерывных функций естественным образом образуют вещественное векторное пространство , а ограничение - это линейное отображение между этими векторными пространствами.
Предварительные пучки со значениями в произвольной категории C определяются, сначала рассматривая категорию открытых множеств на X, чтобы быть позетальной категорией O ( X ), объекты которой являются открытыми множествами X, а морфизмы - включениями. Тогда С -значная Предпучок на X такое же , как контравариантный функтор из О ( Х ) в C . Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования , такие же, как морфизмы, определенные выше, что можно увидеть, распутав определения.
Если целевая категория C допускает все ограничения , предпучок с C-значением является связкой, если следующая диаграмма является уравнителем :
Здесь первая карта является продуктом карт ограничений
а пара стрелок - произведения двух наборов ограничений
а также
Если C - абелева категория , это условие также можно перефразировать, потребовав наличия точной последовательности
Частный случай этого связочного условия имеет место, когда U является пустым набором, а индексный набор I также пуст. В этом случае условие связки требуетбыть терминалом объекта в C .
Окольцованные пространства и пучки модулей
В нескольких геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию , пространства имеют естественный пучок колец, часто называемый структурным пучком и обозначаемый. Такая параназывается окольцованным пространством . Многие типы пространств можно определить как определенные типы окольцованных пространств. Обычно все стеблиструктурного пучка являются локальными кольцами , и в этом случае пара называется локально окольцованным пространством .
Так , например, п - мерное С к многообразию М является локально окольцованным пространством, структура которого состоит из пучка-функции на открытых подмножеств M . Свойство быть локально окольцованным пространством означает, что такая функция, отличная от нуля в точке x , также не равна нулю в достаточно малой открытой окрестности точки x . Некоторые авторы фактически определяют действительные (или комплексные) многообразия как локально окольцованные пространства, локально изоморфные паре, состоящей из открытого подмножества (соотв. ) Вместе с пучком С к (соотв.) Голоморфна функций. [8] Точно так же схемы , основополагающее понятие пространств в алгебраической геометрии, являются локально окольцованными пространствами, которые локально изоморфны спектру кольца .
В кольцевом пространстве пучок модулей - это пучоктакое, что на каждом открытом множестве U из X , является -модуля и для каждого включения открытых множеств V ⊆ U отображение ограничениясогласовано с отображением ограничения O ( U ) → O ( V ): ограничение fs - это ограничение f, умноженное на s, для любых f в O ( U ) и s в F ( U ).
Важнейшие геометрические объекты - это связки модулей. Например, существует взаимно-однозначное соответствие между векторными расслоениями и локально свободными пучками из-модули. Эта парадигма применяется к действительным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (гдесостоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений являются D -модулями , т. Е. Модулями над пучком дифференциальных операторов . В любом топологическом пространстве модули над постоянным пучкомтакие же, как пучки абелевых групп в указанном выше смысле.
Существует другой функтор прообраза для пучков модулей над пучками колец. Этот функтор обычно обозначают и это отличается от . См. Функтор обратного изображения .
Условия конечности пучков модулей.
Условия конечности модуля над коммутативными кольцами порождают аналогичные условия конечности для пучков модулей:называется конечно порожденным (соотв. конечно представлены ) , если для каждой точки х из X , существует открытая окрестность U от х , натуральное число п (возможно , в зависимости от U ) и сюръективный морфизм пучков(соответственно дополнительно натуральное число m и точная последовательность.) Параллельно с понятием когерентного модуля ,называется когерентным пучком, если он конечного типа и если для любого открытого множества U и каждого морфизма пучков (не обязательно сюръективно), ядро φ имеет конечный тип. является когерентным , если оно когерентно как модуль над самим собой. Как и в случае с модулями, когерентность в общем является более сильным условием, чем конечное представление. Теорема Ока о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен.
Этальное пространство пучка
В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки в природе встречаются как связки секций. Фактически, все пучки множеств могут быть представлены как пучки секций топологического пространства, называемого пространством étalé , от французского слова étalé[etale] , что означает примерно «распространяться». Если это связка над , То этальное пространство из топологическое пространство вместе с локальным гомеоморфизмом такой, что связка секций из является . Космос обычно очень странно, и даже если связка возникает из естественной топологической ситуации, может не иметь четкой топологической интерпретации. Например, если - пучок сечений непрерывной функции , тогда если и только если является локальным гомеоморфизмом .
Этальное пространство построен из стеблей над . Как набор, это их непересекающееся объединение и очевидная карта, которая принимает значение на стебле над . Топологияопределяется следующим образом. Для каждого элемента и каждый , мы получаем росток в , обозначенный или же . Эти ростки определяют точки. Для любой а также , объединение этих точек (для всех ) объявлен открытым в . Обратите внимание, что каждый стержень имеет дискретную топологию как топологию подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих пространств этале, согласованное с проекционными отображениями (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор.
Приведенная выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на и категория этальных пространств над . Построение этального пространства также может быть применено к предварительному пучку, и в этом случае связка секций этального пространства восстанавливает связку, связанную с данным предварительным пучком.
Эта конструкция превращает все пучки в представимые функторы на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть быть связкой на , позволять - его этальное пространство, и пусть быть естественной проекцией. Рассмотрим сверхкатегорию топологических пространств над , то есть категория топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в . Каждый объект этой категории представляет собой непрерывную карту, и морфизм из к это непрерывное отображение который коммутирует с двумя картами в . Есть функтор
отправка объекта к . Например, если является включением открытого подмножества, то
а для включения точки , тогда
это стебель в . Есть естественный изоморфизм
,
что показывает, что (для пространства этале) представляет собой функтор .
построено так, что отображение проекции покрывающая карта. В алгебраической геометрии естественный аналог накрывающего отображения называется этальным морфизмом . Несмотря на свое сходство с «этале», слово этале[etal] имеет другое значение во французском языке. Можно превратитьв схему и в морфизм схем таким образом, что сохраняет то же универсальное свойство, но это не в общем этальный морфизм , потому что это не квазиконечная. Однако формально это эталон .
Определение пучков эталевыми пространствами старше, чем определение, данное ранее в статье. Это все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ .
Когомологии пучков
В контекстах, где открытое множество U фиксировано, а пучок рассматривается как переменная, множество F ( U ) также часто обозначается
Как было отмечено выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмы. Вместо этого эпиморфизм пучков это карта со следующим свойством: для любого разреза есть покрытие где
открытых подмножеств, таких что ограничение находятся в образе . Однако сам g не обязательно должен быть в образе. Конкретный пример этого явления - экспоненциальное отображение
между пучком голоморфных функций и ненулевых голоморфных функций. Это отображение является эпиморфизмом, который означает, что любая ненулевая голоморфная функция g ( скажем, на некотором открытом подмножестве в C ) допускает комплексный логарифм локально , т. Е. После ограничения g на соответствующие открытые подмножества. Однако g не обязательно иметь глобальный логарифм.
Когомология пучков фиксирует это явление. Точнее, для точной последовательности пучков абелевых групп
(т.е. эпиморфизм чье ядро ) существует длинная точная последовательность
С помощью этой последовательности первая группа когомологий является мерой несюръективности отображения между секциями а также .
Есть несколько различных способов построения когомологий пучков. Гротендик (1957) ввел их, определив пучок когомологию как производный функтор из. Этот метод теоретически удовлетворителен, но, поскольку он основан на инъективных разрешениях , мало пригоден в конкретных вычислениях. Резолюции Годемента - еще один общий, но практически недоступный подход.
Вычисление когомологий пучков
Особенно в контексте пучков на многообразиях когомологии пучков часто могут быть вычислены с использованием разрешений по мягким пучкам , тонким пучкам и дряблым пучкам (также известным как flasque пучки от французского flasque, что означает дряблый). Например, разбиение аргумента единицы показывает, что пучок гладких функций на многообразии мягкий. Группы высших когомологий для исчезают для мягких пучков, что дает возможность вычислять когомологии других пучков. Например, комплекс де Рама - это разрешение постоянного пучка на любом гладком многообразии, поэтому когомологии пучков совпадает со своими когомологиями де Рама .
Другой подход - когомологии Чеха . Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентных когомологий пучков комплексного проективного пространства.. [9] Он связывает секции на открытых подмножествах пространства с классами когомологий на пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и когомологии производных функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха будут давать правильныено неправильные группы высших когомологий. Чтобы обойти это, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытия . Гиперпокрытия не только дают правильные высшие группы когомологий, но также позволяют заменять упомянутые выше открытые подмножества определенными морфизмами из другого пространства. Такая гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как строительство Pierre Делинь «s смешанных структур Ходжа .
Многие другие когерентные группы когомологий пучков находятся с помощью вложения пространства в пространство с известными когомологиями, такими как , или некоторое взвешенное проективное пространство . Таким образом, известные группы когомологий пучков на этих объемлющих пространствах можно связать с пучками, давая . Например, легко найти когомологии когерентных пучков проективных плоских кривых . Одна большая теорема в этом пространстве - разложение Ходжа, найденное с использованием спектральной последовательности, связанной с группами когомологий пучка , доказанная Делинем. [10] [11] По сути,-страница с условиями
когомологии пучка гладкого проективного многообразия , вырождается, значение . Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий. Позже было обнаружено, что эти группы когомологий могут быть легко вычислены явно с использованием вычетов Гриффитса . См. Якобианский идеал . Эти виды теорем приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий - теореме о разложении , прокладывающей путь для смешанных модулей Ходжа .
Другой чистый подход к вычислению некоторых групп когомологий является теорема Бореля-Ботта-Вейля , который идентифицирует группы когомологий некоторых линейных расслоений на флаговых многообразиях с неприводимых представлений о группах Ли . Эту теорему можно использовать, например, для простого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективных пространствах и многообразиях Грассмана .
Во многих случаях существует теория двойственности пучков, обобщающая двойственность Пуанкаре . См Гротендика двойственность и Вердье двойственность .
Производные категории пучков
Производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некотором пространстве X , обозначаемая здесь как, является концептуальным убежищем для когомологий пучков в силу следующего соотношения:
Примыкание между , который является левым сопряженным (уже на уровне пучков абелевых групп) порождает присоединение
- (для ),
где - производный функтор. Этот последний функтор охватывает понятие когомологий пучков, поскольку для .
Нравиться , прямое изображение с компактной опорой также может быть получен. В силу следующего изоморфизмапараметризует когомологию с компактным носителем из волокон из:
- [12]
Этот изоморфизм является примером теоремы о замене базы . Есть еще одно примыкание
В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) функтор обратного образа в общем случае определяется только на уровне производных категорий , т. е. функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Еслии X - гладкое ориентируемое многообразие размерности n , то
- [13]
Это вычисление и совместимость функторов с двойственностью (см. Двойственность Вердье ) могут быть использованы для получения подробного объяснения двойственности Пуанкаре . В контексте квазикогерентных пучков на схемах существует аналогичная двойственность, известная как когерентная двойственность .
Извращенные связки - это определенные объекты в, т. е. комплексы пучков (но не собственно пучки вообще). Они являются важным инструментом для изучения геометрии особенностей . [14]
Производные категории когерентных пучков и группа Гротендика
Еще одно важное применение производных категорий пучков - это производная категория когерентных пучков на схеме. обозначен . Это было использовано Гротендиком в его развитии теории пересечений [15] с использованием производных категорий и K-теории , что произведение пересечений подсхемпредставлен в K-теории как
где являются когерентные пучки , определенные-модули, заданные их структурными пучками .
Сайты и топои
Вейль «s Weil домыслы заявили , что существует теория когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями , которые дали бы аналог гипотезы Римана . Когомологии комплексного многообразия можно определить как когомологии пучка локально постоянного пучкав евклидовой топологии, которая предлагает определить теорию когомологий Вейля в положительной характеристике как когомологии пучка постоянного пучка. Но единственной классической топологией на таком многообразии является топология Зарисского , а топология Зарисского имеет очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого пучка констант Зарисского на неприводимом многообразии исчезают (кроме нулевой степени). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика , которые аксиоматизируют понятие покрытия . Понимание Гротендика заключалось в том, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Предварительный пучок переводит каждый из этих объектов в данные, как и раньше, а пучок - это предварительный пучок, который удовлетворяет аксиоме склеивания в отношении нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологии и ℓ-адические когомологии , которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля.
Категория с топологией Гротендика называется сайтом . Категория снопов на участке называется топосом или топосом Гротендика . Понятие топоса позже было абстрагировано Уильямом Ловером и Майлзом Тирни, чтобы определить элементарный топос , имеющий связь с математической логикой .
История
Трудно определить первые истоки теории пучков - они могут быть совпадают с идеей аналитического продолжения [ требуется пояснение ] . Потребовалось около 15 лет, чтобы на основе основополагающей работы по когомологиям появилась узнаваемая, самостоятельная теория пучков .
- 1936 Эдуард Чех вводит конструкцию нерва для связывания симплициального комплекса с открытым покрытием.
- 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологий, резюмируя работу с тех пор, как Дж. В. Александр и Колмогоров впервые определили коцепи .
- 1943 Норман Стинрод публикует статью о гомологиях с локальными коэффициентами .
- 1945 Жан Лере публикует работу, выполненную в качестве военнопленного , мотивированную доказательством теорем о неподвижной точке для применения в теории PDE ; это начало теории пучков и спектральных последовательностей .
- 1947 Анри Картан опровергает теорему де Рама методами пучков в соответствии с Андре Вейлем (см. Теорему де Рама – Вейля ). Лере дает определение связки в своих курсах через замкнутые множества (более поздние панцири ).
- 1948 На семинаре Картана впервые сформулирована теория пучков.
- 1950 "Второе издание" теории пучков с семинара Картана: используется определение пространства пучков ( espace étalé ) со стержневой структурой. Вводятся опоры и когомологии с опорами. Непрерывные отображения порождают спектральные последовательности. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с этой) связки идеалов в нескольких комплексных переменных .
- 1951 На семинаре Картана доказываются теоремы A и B , основанные на работе Оки.
- 1953 Теорема конечности для когерентных пучков в аналитической теории доказана Картаном и Жан-Пьером Серром , как и двойственность Серра .
- Статья Серра 1954 г. « Faisceaux algébriques cohérents» (опубликованная в 1955 г.) вводит пучки в алгебраическую геометрию . Эти идеи немедленно используются Фридрихом Хирцебрухом , который в 1956 году написал большую книгу по топологическим методам.
- 1955 Александр Гротендик в лекциях в Канзасе определяет абелеву категорию и предпучок и, используя инъективные резольвенты, позволяет напрямую использовать когомологии пучков на всех топологических пространствах в качестве производных функторов .
- 1956 Доклад Оскара Зарисского. Теория алгебраических пучков.
- Статья Гротендика 1957 года о Тохоку переписывает гомологическую алгебру ; он доказывает двойственность Гротендика (т. е. двойственность Серра для, возможно, особых алгебраических многообразий).
- 1957 г. и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, вводя: схемы и общие пучки на них, локальные когомологии , производные категории (с Вердье) и топологии Гротендика . Возникает также его влиятельная схематическая идея « шести операций » в гомологической алгебре.
- 1958 г. Опубликована книга Роджера Годемана по теории пучков. Примерно в это же время Микио Сато предлагает свои гиперфункции , которые, как выясняется, имеют теоретико-пучковую природу.
С этого момента пучки стали основной частью математики, и их использование никоим образом не ограничивалось алгебраической топологией . Позже было обнаружено, что логика в категориях пучков является интуиционистской логикой (это наблюдение сейчас часто называют семантикой Крипке – Джояла , но, вероятно, следует приписать ряду авторов). Это показывает, что некоторые аспекты теории пучков можно проследить еще до Лейбница .
Смотрите также
- Связный пучок
- Герб
- Стек (математика)
- Пучок спектров
- Извращенная связка
- Предварительный пучок пространств
- Конструируемая связка
Заметки
- ^ Теннисон, BR (1975), теория снопа , Cambridge University Press , MR 0404390
- ^ Бредон (1997 , глава V, § 1)
- ^ Демайли, Жан-Пьер. «Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 сентября 2020 года.
- ^ Картан, Анри. "Variétés analytiques комплексы и когомологии" (PDF) . Архивировано 8 октября 2020 года (PDF) .
- ^ а б «Дифференциальная геометрия - голоморфные функции на комплексном компактном многообразии суть только константы» . Обмен математическими стеками . Проверено 7 октября 2020 .
- ^ SGA 4 II 3.0.5
- ↑ Иверсен (1986 , Глава VII)
- ^ Раманан (2005)
- ^ Хартсхорн (1977), теорема III.5.1.
- ^ Делинь, Пьер (1971). "Теори де Ходж: II" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 40 : 5–57.
- ^ Делинь, Пьер (1974). «Теори де Ходж: III» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 44 : 5–77.
- ^ Иверсен (1986 , глава VII, теорема 1.4)
- ^ Кашивары & Шапира (1994 , глава III, п.3.1)
- ^ де Катальдо и Мильорини (2010)
- ^ Гротендик. «Формализм пересечений на основе алгебр схемы» .
Рекомендации
- Бредон, Глен Э. (1997), Теория связок , Тексты для выпускников по математике, 170 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94905-5, Руководство по ремонту 1481706 (ориентирована на обычные топологические приложения)
- де Катальдо, Андреа Марк; Мильорини, Лука (2010). "Что такое извращенная сноп?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (5): 632–4. arXiv : 1004.2983 . Bibcode : 2010arXiv1004.2983D . Руководство по ремонту 2664042 .
- Годеман, Роджер (2006) [1973], Topologie algébrique и др Théorie де faisceaux , Париж: Hermann, ISBN 2705612521, Руководство по ремонту 0345092
- Гротендик, Александр (1957), "Sur Quelques точки d'algèbre гомологической", Тохоку математический журнал , вторая серия, 9 (2): 119-221, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
- Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии , Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, Руководство по ремонту 1335917 (обновленное издание классического произведения, в котором достаточно теории пучков, чтобы продемонстрировать его силу)
- Иверсен, Биргер (1986), когомологии пучков , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 3-540-16389-1, MR 0842190
- Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (1994), Пучки на многообразиях , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 292 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7, Руководство по ремонту 1299726(продвинутые методы, такие как производная категория и исчезающие циклы на наиболее разумных пространствах)
- Мак Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1994), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2, MR 1300636 (подчеркнута теория категорий и топосы)
- Мартин, Уильям Т .; Черн, Шиинг-Шэнь ; Зарискому, Оскар (1956), "Научный доклад о работе второго Летнего института, несколько комплексных переменных", Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 79-141, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1956-10013-X , ISSN 0002-9904 , MR 0077995
- Раманан, С. (2005), Глобальное исчисление , аспирантура по математике, 65 , Американское математическое общество, DOI : 10.1090 / gsm / 065 , ISBN 0-8218-3702-8, Руководство по ремонту 2104612
- Зеебах, Дж. Артур ; Seebach, Linda A .; Стин, Линн А. (1970), "Что такое Сноп", American Mathematical Monthly , 77 (7): 681-703, DOI : 10,1080 / 00029890.1970.11992563 , MR 0263073
- Серр, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF) , Анналы математики , второй серии 61 (2): 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969915 , MR 0068874
- Свон, Ричард Г. (1964), Теория снопов , Чикагские лекции по математике (3-е изд.), University of Chicago Press , ISBN 9780226783291 (краткие конспекты лекций)
- Теннисон, Барри Р. (1975), теория пучков , серия лекций Лондонского математического общества, 20 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20784-3, Руководство по ремонту 0404390 (педагогическое лечение)