В математике, особенно в алгебраической топологии и алгебраической геометрии , функтор обратного образа - это контравариантная конструкция пучков ; здесь «контравариантный» в смысле данной картыПрообраз функтора функтор из категории пучков на Y к категории пучков на X . Функтор прямым образом является основной операцией на шкивах, с простейшим определением. Обратное изображение демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности.
Предположим, нам дан пучок на и что мы хотим перевезти к используя непрерывную карту .
Мы будем называть результат , возвращаемый прообраз или поднятием пучок . Если мы попытаемся сымитировать прямое изображение , установив
за каждый открытый комплект из , сразу сталкиваемся с проблемой: не обязательно открыто. Лучшее, что мы могли сделать, - это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучок, а не пучок. Следовательно, мы определяембыть связкой, связанной с предпучком :
(Здесь открытое подмножество и копредел пробегает все открытые подмножества из содержащий .)
Например, если просто включение точки из , тогда это только черенок из с этой точки зрения.
Карты рестрикции, а также функториальность прообраза следует из универсального свойства из прямых пределов .
Имея дело с морфизмами из локально окольцованных пространств , например , схемы в алгебраической геометрии , один часто работает с пучками-модули , где структурный пучок . Тогда функтор неуместен, потому что вообще не дает даже связок -модули. Чтобы исправить это, в этой ситуации определяют пучок-модули его прообраз
- .
- Пока определить сложнее, чем , стебли легче вычислить: учитывая точку, надо .
- является точным функтором , как видно из приведенного выше вычисления стеблей.
- является (в общем) только правильным. Еслиточное, f называется плоским .
- является левым сопряженным к функтору прямого изображения . Отсюда следует, что существуют естественные морфизмы единиц и коит а также . Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения:
- .
Однако морфизмы а также почти никогда не бывают изоморфизмами. Например, если обозначает включение замкнутого подмножества, стебель в какой-то момент канонически изоморфна если в а также иначе. Аналогичное присоединение справедливо для случая пучков модулей, заменяя от .