Сноп (математика)
В математике пучок — это инструмент для систематического отслеживания данных (таких как множества, абелевы группы, кольца), прикрепленных к открытым множествам топологического пространства и определенных локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого набора данные могут быть кольцом непрерывных функций , определенных на этом открытом наборе. Такие данные хорошо себя ведут, поскольку их можно ограничить меньшими открытыми наборами, а также данные, назначенные открытому набору, эквивалентны всем наборам совместимых данных, назначенным наборам меньших открытых наборов, охватывающих исходный открытый набор. (Интуитивно каждый фрагмент данных представляет собой сумму его частей.)
Пучки концептуально понимаются как общие и абстрактные объекты. Их правильное определение является скорее техническим. Они специально определяются как пучки множеств или пучки колец, например, в зависимости от типа данных, присвоенных открытым множествам.
Существуют также отображения (или морфизмы ) из одного пучка в другой; пучки (особого типа, например, пучки абелевых групп ) со своими морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . С другой стороны, каждому непрерывному отображению соответствует как функтор прямого образа , переводящий пучки и их морфизмы на области в пучки и морфизмы на области значений , так и функтор обратного образа , действующий в обратном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются неотъемлемой частью теории пучков.
Благодаря своей общей природе и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии и особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии . Во-первых, геометрические структуры, такие как дифференцируемое многообразие или схема, могут быть выражены в терминах пучка колец в пространстве. В таких контекстах некоторые геометрические конструкции, такие как векторные расслоения или делители , естественно задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий , которая охватывает также «обычные» топологические теории когомологий, такие как сингулярные когомологии.. Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий когомологии пучков обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также обеспечивают основу для теории D - модулей , которые обеспечивают приложения к теории дифференциальных уравнений . Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика , обеспечили приложения к математической логике и теории чисел .
Во многих математических разделах некоторые структуры, определенные на топологическом пространстве (например, дифференцируемое многообразие ), могут быть естественным образом локализованы или ограничены открытыми подмножествами : типичные примеры включают непрерывные вещественнозначные или комплекснозначные функции, дифференцируемые по времени (действительнозначные или комплексные -значные) функции, ограниченные вещественнозначные функции, векторные поля и сечения любого векторного расслоения на космос. Возможность ограничить данные меньшими открытыми подмножествами порождает концепцию предварительных пучков. Грубо говоря, пучки — это те предпучки, в которых локальные данные могут быть склеены с глобальными данными.
Пусть — топологическое пространство. Предпучок множеств on состоит из следующих данных:
