В математическом анализе , Полунепрерывность (или Полунепрерывность ) является свойством расширенных реальных -значных функций , которые слабее , чем непрерывности . Расширенная функция с действительными значениямиявляется верхним (соответственно, снизить ) полунепрерывная в точке если, грубо говоря, значения функции для аргументов близки к ненамного выше (соответственно ниже) чем
Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке к (для некоторой положительной постоянной ), то результат полунепрерывен сверху; если мы уменьшим его значение до то результат полунепрерывен снизу.
Формальное определение
Предположим на протяжении всего этого является топологическим пространством и- функция со значениями в расширенных действительных числах
Функция называется полунепрерывный сверху, если онполунепрерывен сверху вкаждой точке своейобласти определения и аналогично он называется полунепрерывный снизу, если онполунепрерывен снизу вкаждой точке своей области[1],где теперь даны несколько эквивалентных определений «полунепрерывного в точке».
Полунепрерывность сверху в точке
Функция как говорят верхняя полунепрерывная в точке если
- для каждого настоящего существует район из такой, что для всех
Если тогда обязательно полунепрерывно сверху в потому что указанное выше условие выполняется вакуумно (нет реальных). В этом определении строгое неравенство "" можно заменить на "", но то же самое нельзя сделать при строгом неравенстве "".
Верхняя полунепрерывность при можно эквивалентным образом определить, разделив его на два случая, причем разделение на случаи необходимо в связи с тем, что (из определения выше) и (из определения ниже) не могут использоваться взаимозаменяемо, когда Функция является полунепрерывно сверху на тогда и только тогда, когда верно следующее:
- если затем для каждого существует район из так что всякий раз, когда тогда [примечание 1]
- если тогда как правило в виде стремится к
Для частного случая, когда метрическое пространство, полунепрерывно сверху в если и только если
где lim sup - верхний предел функции в точке (Для неметрических пространств может быть дано эквивалентное определение с использованием сетей .)
Полунепрерывность снизу в точке
Функция как говорят нижняя полунепрерывная в точке если
- для каждого настоящего существует район из такой, что для всех
Если тогда обязательно полунепрерывно снизу в точке потому что указанное выше условие выполняется в вакууме . В этом определении строгое неравенство "" можно заменить на "", но то же самое нельзя сделать при строгом неравенстве "".
Нижняя полунепрерывность при можно эквивалентным образом определить, разделив его на два случая, причем разделение на случаи необходимо в связи с тем, что (из определения выше) и (из определения ниже) не могут использоваться взаимозаменяемо, когда [примечание 2] Функцияявляется полунепрерывным снизу на тогда и только тогда, когда верно следующее:
- если затем для каждого существует район из так что всякий раз, когда тогда [заметка 3]
- если тогда как правило в виде стремится к
Для частного случая, когда метрическое пространство, полунепрерывно снизу при если и только если
где является нижним пределом функции в точке
Характеристики
Функция является полунепрерывной сверху (соответственно полунепрерывной снизу) тогда и только тогда, когда (соотв. ) - открытое множество для любогоВ качестве альтернативы функция является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда все ее нижние уровни устанавливаются (также называемые подуровнями или траншеями ) закрыты . Функция полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда полунепрерывно сверху. [2]
Функция полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда его надграфик (множество точек, лежащих на его графике или выше ) замкнут .
Функция из некоторого топологического пространства полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда оно непрерывно относительно топологии Скотта на
Так как является подбазой евклидовой топологии на функция непрерывно тогда и только тогда, когда а также открыты для всех Эту характеристику можно рассматривать как мотивировку определений полунепрерывности сверху и снизу. [2] Кроме того, функция непрерывна в точкетогда и только тогда, когда он там и верхний, и нижний полунепрерывный. [2] Следовательно, полунепрерывность может использоваться для доказательства непрерывности.
Примеры
Рассмотрим функцию кусочно определяется:
Эта функция полунепрерывна сверху при но не нижний полунепрерывный.
Индикаторная функция из замкнутого множества является полунепрерывно сверху, тогда как функция индикатора открытого множества ниже полунепрерывная. Функция пола который возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу всюду полунепрерывно сверху. Точно так же функция потолка полунепрерывно снизу.
Функция может быть полунепрерывной сверху или снизу, но не непрерывной слева или справа . Например, функция
полунепрерывно сверху в поскольку его ценность там выше, чем его ценность в окрестностях. Однако он не является непрерывным ни слева, ни справа: предел слева равен 1, а предел справа равен 1/2, оба из которых отличаются от значения функции 2. Если изменяется, например, путем установки тогда он полунепрерывен снизу.
Аналогично функция
полунепрерывно сверху в в то время как ограничения функции слева или справа в нуле даже не существуют.
Если является евклидовым пространством (или, в более общем смысле, метрическим пространством) и пространство кривых в(с супремальным расстоянием то функционал длины который присваивает каждой кривой его длина полунепрерывно снизу.
Индикаторная функция любого открытого множества снизу. Индикаторная функция замкнутого множества полунепрерывна сверху. Однако в выпуклом анализе термин «индикаторная функция» часто относится к характеристической функции , и характеристическая функция любого замкнутого набора является полунепрерывной снизу, а характеристическая функция любого открытого набора полунепрерывна сверху.
Позволять быть мерным пространством и пусть обозначим множество положительно измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительноТогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из к полунепрерывно снизу.
Достаточные условия
Если а также - две действительные функции, обе полунепрерывные сверху в тогда так Если обе функции неотрицательны, функция произведения также будет полунепрерывным сверху при То же верно и для функций, полунепрерывных снизу при [3]
состав полунепрерывных сверху функций а также не обязательно полунепрерывно сверху, но если также не убывает, то является полунепрерывным сверху. [4]
Умножение положительной полунепрерывной сверху функции на отрицательное число превращает ее в полунепрерывную снизу функцию.
Предполагать является полунепрерывной снизу функцией для любого индекса в непустом множестве и определить как точечный супремум ; это,
- для каждого
потом полунепрерывно снизу. [5] [2] Даже если все непрерывны, не обязательно быть непрерывным; действительно, каждая полунепрерывная снизу функция на однородном пространстве (например, метрическом пространстве ) возникает как верхняя грань последовательности непрерывных функций. Точно так же поточечная нижняя грань произвольного набора полунепрерывных сверху функций полунепрерывна сверху.
Предполагать неотрицательные полунепрерывные снизу функции, индексируемые такой, что
для каждого потом полунепрерывно снизу. [2] Если дополнительно каждые непрерывно, то обязательно непрерывно. [2]
Максимум и минимум конечного числа полунепрерывных сверху функций полунепрерывны сверху, то же самое верно и для полунепрерывных снизу функций.
Характеристики
Если это компактное пространство (например, устройство закрыто , ограниченный интервал ) а также полунепрерывно сверху, то имеет максимум на Аналогичное утверждение для (-] -значные полунепрерывные снизу функции и минимумы. (См. Статью о теореме об экстремальном значении для доказательства.)
Любая полунепрерывная сверху функция на произвольном топологическом пространстве локально постоянен на некоторое открытое плотное подмножество из
Смотрите также
- Непрерывная функция - математическая функция без резких изменений значения
- Направленная непрерывность
- Полунепрерывная многозначная функция
Заметки
- ^ Когда является действительным числом (т.е. когда ) то неравенство "« можно заменить на строгое неравенство »".
- ^ Когда тогда для каждого настоящего тогда как, напротив, если тогда
- ^ Когда является действительным числом (т.е. когда ) то неравенство "« можно заменить на строгое неравенство »".
Рекомендации
- ^ Kiwiel, Кшиштоф C. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, Series A . 90 (1). Берлин, Гейдельберг: Springer. С. 1–25. DOI : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . MR 1819784 .
- ^ а б в г д е Мугер, Майкл (2020). Топология для рабочего математика . С. 93–94.
- ^ Путерман, Мартин Л. (2005). Марковские процессы принятия решений, дискретное стохастическое динамическое программирование . Wiley-Interscience. С. 602 . ISBN 978-0-471-72782-8.
- ^ Мур, Джеймс С. (1999). Математические методы экономической теории . Берлин: Springer. п. 143 . ISBN 9783540662358.
- ^ «Теорема Бэра» . Энциклопедия математики .
Библиография
- Бенесова, Б .; Крузик, М. (2017). «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложения». SIAM Обзор . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . DOI : 10.1137 / 16M1060947 .
- Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: общая топология, 1–4 . Springer. ISBN 0-201-00636-7.
- Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: общая топология, 5–10 . Springer. ISBN 3-540-64563-2.
- Gelbaum, Bernard R .; Олмстед, Джон MH (2003). Контрпримеры в анализе . Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
- Хайерс, Дональд Х .; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
- Зэлинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, штат Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Руководство по ремонту 1921556 . OCLC 285163112 .