В математике , локальные коэффициенты идея из алгебраической топологии , своего рода полупути стадии между теорией гомологии или теорией когомологий с коэффициентами в обычном смысле, в фиксированных абелевых группы А , и общих когомологиями пучков , которые, грубо говоря, позволяют коэффициенты изменяться от точки к точке в топологическом пространстве X . Такая концепция была введена Норманом Стинродом в 1943 году [1].
Пусть X - топологическое пространство . Локальная система (абелевых группы / модулей / ...) на X является локально постоянным пучком (из абелевых групп / модулей ...) на X . Другими словами, связка является локальной системой, если каждая точка имеет открытую окрестность такой, что является постоянным пучком .
Эквивалентные определения
Связанные пути пространства
Если X соединен по пути , локальная системаабелевых группы имеют то же волокно L в каждой точке. Дать такую локальную систему - все равно что дать гомоморфизм
и аналогично для локальных систем модулей, ... Карта давая локальной системе называется представлением монодромии из.
Доказательство эквивалентности -
Возьмите локальную систему и петля в х . Легко показать, что любая локальная система напостоянно. Например,постоянно. Это дает изоморфизм, т.е. между L и самим собой. Наоборот, при гомоморфизме, рассмотрим постоянный пучок на универсальной обложке из X . Разделы, инвариантные к преобразованию колодыдает локальную систему на X . Точно так же ρ -эквивариантные секции deck-transform- дают другую локальную систему на X : для достаточно малого открытого множества U она определяется как
где универсальное покрытие.
Это показывает, что (для линейной связности X ) локальная система - это в точности пучок, откат которого к универсальному покрытию X является постоянным пучком.
Более сильное определение на несвязных пространствах
Другое (более сильное, неэквивалентное) определение, обобщающее 2 и работающее для несвязного X , это: ковариантный функтор
из фундаментального группоида в категорию модулей над коммутативным кольцом . Обычно. Это говорит о том, что в каждой точке мы должны назначить модуль с представлением такие, что эти представления совместимы с изменением базовой точки для фундаментальной группы .
- Постоянные связки. Например,. Это полезный инструмент для вычисления когомологий, поскольку когомологии пучков
изоморфна сингулярным когомологиям . - . С, Существуют -Множество линейные системы на X , то один, заданный представлением монодромии
отправив Горизонтальные сечения векторных расслоений с плоской связью. Если - векторное расслоение с плоской связностью , тогда
это локальная система. Например, возьмите а также тривиальный пучок. Сечения E - это n -наборы функций на X , поэтомуопределяет плоскую связь на E , как и для любой матрицы однократных форм на X . Затем горизонтальные секции
т.е. решения линейного дифференциального уравнения . Если распространяется на одноразовую форму на приведенное выше также определит локальную систему на , так что это будет тривиально, так как . Итак, чтобы дать интересный пример, выберите один с полюсом в 0 :
в этом случае для , - Карта покрытия n- листов локальная система с секциями локально множество . Точно так же пучок волокон с дискретным слоем является локальной системой, потому что каждый путь поднимается уникальным образом до заданного подъема своей базовой точки. (Определение регулируется для включения многозначных локальных систем очевидным образом).
- Локальная система k -векторных пространств на X - это то же самое, что k -линейное представление группы.
- Если X - разнообразие, локальные системы - это то же самое, что D -модули, которые, кроме того, когерентны как O -модули.
Если соединение не является плоским, параллельная транспортировка волокна вокруг стягиваемой петли в точке x может дать нетривиальный автоморфизм слоя в базовой точке x , поэтому таким образом невозможно определить локально постоянный пучок.
Соединение Гаусса-Манина очень интересный пример соединения, чьи горизонтальные участки возникают при изучении вариации структур Ходжа .
Локальные системы имеют небольшое обобщение на конструктивные пучки. Конструктивный пучок на локально линейно связном топологическом пространстве это связка такое, что существует расслоение
где это локальная система. Обычно их находят, беря когомологии полученного прямого прогноза для некоторого непрерывного отображения.. Например, если мы посмотрим на сложные точки морфизма
затем волокна над
гладкая плоская кривая, заданная формулой , но волокна закончились находятся . Если мы возьмем производный толчок впередтогда мы получаем конструктивную связку. Над у нас есть локальные системы
пока закончился у нас есть локальные системы
где - род плоской кривой (т.е. ).
Когомологии с локальными коэффициентами в модуле, соответствующем ориентационному покрытию, могут быть использованы для формулировки двойственности Пуанкаре для неориентируемых многообразий: см. Скрученную двойственность Пуанкаре .