Математический термин извращенные пучки относится к определенной абелевой категории, связанной с топологическим пространством X , которое может быть действительным или комплексным многообразием , или более общим топологически стратифицированным пространством , обычно сингулярным. Это понятие было введено в тезис Зогмана Мебхаута и приобрело большую популярность после (независимой) работы Джозефа Бернштейна , Александра Бейлинсона и Пьера Делиня (1982) как формализация соответствия Римана-Гильберта , которое связывало топологию сингулярных пространств. ( пересечение гомологии изМарк Гореска и Роберт Макферсон ) и алгебраическая теория дифференциальных уравнений ( микролокальное исчисление и голономные D-модули из Джозефа Бернштейна , Masaki Кашиваров и Такахиро~d Кавай ). С самого начала было ясно, что извращенные пучки являются фундаментальными математическими объектами на стыке алгебраической геометрии , топологии , анализа и дифференциальных уравнений . Они также играют важную роль в теории чисел , алгебре и теории представлений . Свойства, характеризующие извращенные пучки, уже появились в статье Кашивары 75 о конструктивности решений голономных D-модулей .
Предварительные замечания
Название « извращенная связка» происходит от грубого перевода французского «faisceaux pervers». [1] Обоснование состоит в том, что извращенные пучки - это комплексы пучков, которые имеют несколько общих черт с пучками: они образуют абелеву категорию, у них есть когомологии , и для ее построения достаточно построить ее локально всюду. Прилагательное «извращенцы» происходит от теории гомологии пересечений [2], и его происхождение было объяснено Горески (2010) .
Определение извращенного пучка Бейлинсона – Бернштейна – Делиня проходит через механизм триангулированных категорий в гомологической алгебре и имеет очень сильный алгебраический привкус, хотя основные примеры, вытекающие из теории Горески – Макферсона, являются топологическими по своей природе, поскольку простые объекты в категории извращенных пучков являются комплексами когомологий пересечений. Это побудило Макферсона пересмотреть всю теорию в геометрических терминах на основе теории Морса . Для многих приложений в теории представлений извращенные пучки можно рассматривать как «черный ящик», категорию с определенными формальными свойствами.
Определение и примеры
Порочный пучок является объект С из ограниченной производной категории пучков с конструктивными когомологиями на пространстве X таким образом, что множество точек х с
- или же
имеет размерность не более 2 i для всех i . Здесь j x - карта включения точки x .
Если X гладко и всюду размерности d , то
является извращенным пучком для любой локальной системы . [3] Если X - плоская локально полная схема пересечений (например, регулярная) над гензелевым кольцом дискретного нормирования , то постоянный пучок, сдвинутый наэтальный извращенный пучок. [4]
Характеристики
Категория извращенных пучков является абелевой подкатегорией (неабелевой) производной категории пучков, равной сердцевине подходящей t-структуры и сохраняется двойственностью Вердье .
Ограниченная производная категория порочных Салических пучков на схеме X эквивалентна производной категории конструктивных пучков и аналогично для пучков на комплексном аналитическом пространстве , связанной со схемой X / C . [5]
Приложения
Извращенные пучки - фундаментальный инструмент геометрии особых пространств. Поэтому они применяются в самых разных математических областях. В соответствии Римана-Гильберта извращенные пучки соответствуют регулярным голономным D-модулям . Это приложение устанавливает понятие извращенного пучка как происходящего «в природе». Теорема разложения , далеко идущее расширение жесткого разложения теоремы Лефшеца , требует использования извращенных пучков. Модули Ходжа , грубо говоря, являются уточнением извращенных пучков в теории Ходжа . В геометрических Сатаке эквивалентность идентифицирует Эквивариантные извращенные пучки на аффинном грассманиан с представлениями дуальной группы Ленглендса редуктивной группы G - см. Mirković & Vilonen (2007) . Доказательство гипотез Вейля с использованием извращенных пучков дано в Kiehl & Weissauer (2001) .
Струнная теория
Безмассовые поля в компактификациях суперструн были отождествлены с классами когомологий на целевом пространстве (т. Е. Четырехмерным пространством Минковского с шестимерным многообразием Калаби-Яу (CY) ). Определение содержания вещества и взаимодействия требует детального анализа (ко) гомологии этих пространств: почти все безмассовые поля в эффективной физической модели представлены определенными элементами (ко) гомологии. Однако, когда целевое пространство сингулярно, возникают неприятные последствия . Особое целевое пространство означает, что только многообразие CY является сингулярным, поскольку пространство Минковского гладкое. Такое сингулярное CY-многообразие называется конифолдом, поскольку это CY-многообразие, допускающее конические особенности . Строминджер наблюдалось (А. Стромингер, 1995) , что conifolds соответствуют безмассовых blackholes . Конифолды - важные объекты в теории струн: Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 своей книги «Элегантная Вселенная», включая тот факт, что пространство может разрываться вблизи конуса, а его топология может изменяться. Эти особые целевые пространства, т. Е. Конифолды, соответствуют некоторым мягким вырождениям алгебраических многообразий, которые появляются в большом классе суперсимметричных теорий, включая теорию суперструн (E. Witten, 1982). По сути, разные теории когомологий на сингулярных целевых пространствах дают разные результаты, что затрудняет определение того, какая теория может отдать предпочтение физике. Некоторые важные характеристики когомологий, которые соответствуют безмассовым полям, основаны на общих свойствах теорий поля, в частности, (2,2) -суперсимметричных двумерных теорий поля мирового листа . Эти свойства, известные как пакет Келера (T. Hubsch, 1992), должны выполняться для особых и гладких целевых пространств. Пол Грин и Тристан Хабш (P. Green & T. Hubsch, 1988) определили, что способ, которым вы перемещаетесь между сингулярными целевыми пространствами CY, требует перемещения либо через небольшое разрешение, либо через деформацию сингулярности (T. Hubsch, 1992), и назвал это это «конифолдный переход».
Тристан Хабш (T. Hubsch, 1997) предположил, какой должна быть эта теория когомологий для особых целевых пространств. Тристан hübsch и Абдул Рахман (Т. hübsch и А. Рахман, 2005) работали решить гипотезу hübsch, анализируя нетрансверсальном случай Виттен калиброванной модели линейной сигмы (Е. Виттен, 1993) , который индуцирует стратификацию этих алгебраических многообразий (называемое многообразием основного состояния) в случае изолированных конических особенностей . При определенных условиях было определено, что это многообразие основного состояния было конифолдом (P. Green & T.Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) с изолированными коническими особенностями над определенным основанием с 1-мерной экзокривой (называемой экзо-стратами). ) прикреплены в каждой особой точке. Т. Хабш и А. Рахман определили (ко) -гомологию этого множества основных состояний во всех измерениях, нашли его совместимым с зеркальной симметрией и теорией струн, но обнаружили препятствие в среднем измерении (Т. Хабш и А. Рахман, 2005 г.) ). Это препятствие потребовало пересмотра гипотезы Хабша о струнных сингулярных когомологиях (T. Hubsch, 1997). Зимой 2002 г. Т. Хабш и А. Рахман встретились с Р. М. Горески, чтобы обсудить это препятствие, и в ходе дискуссий между Р. М. Горески и Р. Макферсоном Р. Макферсон заметил, что существует такой извращенный пучок, который может иметь когомологии. это удовлетворило гипотезу Хабша и устранило препятствие . Р. М. Горески и Т. Хабш консультировали доктора философии А. Рахмана. докторскую диссертацию о построении самодвойственной извращенной связки (A. Rahman, 2009) с использованием зигзагообразной конструкции Макферсона - Вилонена (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). Этот извращенный пучок доказал гипотезу Хюбша для изолированных конических особенностей , удовлетворял двойственности Пуанкаре и соответствовал некоторым свойствам пакета Кэлера. Удовлетворение всего кэлеровского пакета этим извращенным пучком для слоев более высокой коразмерности все еще остается открытой проблемой. Маркус Банагл (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) обратился к гипотезе Хабша через пространства пересечений для слоев более высокой коразмерности, вдохновленный работами Хабша (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green and T. Hubsch , 1988) и оригинальный анзац А. Рахмана (A. Rahman, 2009) для изолированных особенностей .
Смотрите также
- Смешанный модуль Ходжа
- Смешанная извращенная связка
- Гомология пересечения
- L² когомологии
- Конифолд
- Струнная теория
- Суперсимметрия
Заметки
- ^ Les faisceaux pervers n'etant ni des faisceaux, ni pervers, la terminologie Requiert une Explication. BBD, стр. 10
- ^ Какова этимология термина «извращенная связка»? - MathOverflow
- ^ Бейлинсон, Bernstein & Делинь (1982 , предложение 2.2.2, §4.0)
- ^ Иллюзия (2003 , Corollaire 2.7)
- ^ Бейлинсон (1987 , теорема 1.3)
Рекомендации
- Андреа де Катальдо, Марк; Мильорини, Лука (2010). "Что такое извращенная сноп?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (5): 632–634. Руководство по ремонту 2664042 .
- Аринкин Дмитрий; Безрукавников, Роман (2010). «Извращенные связные пучки». Московский математический журнал . 10 (1): 3–29. arXiv : 0902.0349 . Bibcode : 2009arXiv0902.0349A . DOI : 10.17323 / 1609-4514-2010-10-1-3-29 . Руководство по ремонту 2668828 . S2CID 14409918 .
- Бейлинсон, Александр А. (1987), "О производной категории извращенных пучков", K-теория, арифметика и геометрия (Москва, 1984–1986) , Конспект лекций по математике, 1289 , Берлин: Springer, стр. 27–41 , DOI : 10.1007 / BFb0078365 , ISBN 978-3-540-18571-0, Руководство по ремонту 0923133
- Бейлинсон, Александр А .; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982). "Фейсо извращенцы". Astérisque (на французском). Париж: Société Mathématique de France . 100 . Руководство по ремонту 0751966 .
- Брасселе, Жан-Поль (2009), Введение в гомологию пересечений и извращенные пучки , Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), MR 2533465
- Бремер, Кристофер Л .; Сейдж, Дэниел С. (2013), «Обобщенные условия Серра и извращенные когерентные пучки», Журнал алгебры , 392 : 85–96, arXiv : 1106.2616 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2013.06.018 , MR 3085024 , S2CID 14754630
- Гореский, Марк (2010). «Какова этимология термина« извращенная связка »?» .
- Иллюзи, Люк (2003). «Извращение и вариации». Manuscripta Mathematica . 112 (3): 271–295. DOI : 10.1007 / s00229-003-0407-Z . Руководство по ремонту 2067039 . S2CID 122652995 .
- Киль, Рейнхардт ; Weissauer, Rainer (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 42 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-41457-5, Руководство по ремонту 1855066
- Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). "Гомологии пересечения и извращенные пучки" (PDF) (неопубликованная рукопись). Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), «Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами», Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math / 0401222 , doi : 10.4007 / annals.2007.166 0,95 , ISSN 0003-486X , Руководство по эксплуатации 2342692 , S2CID 14127684
- Ритч, Констанце (2003). «Введение в извращенные снопы». arXiv : math.RT / 0307349 .
- Бейлинсон, Александр; Бернштейн, Джозеф; Делинь, Пьер; Габбер, Офер (2018). Faisceaux Pervers . Astérisque. 100 (2-е изд.). ISBN 978-2-85629-878-7.
- Строминджер, Эндрю (1995). «Безмассовые черные дыры и конифолды в теории струн». Ядерная физика Б . 451 (1–2): 96–108. arXiv : hep-th / 9504090 . Bibcode : 1995NuPhB.451 ... 96S . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00287-3 . S2CID 6035714 .
- Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (4): 661–692. DOI : 10.4310 / JDG / 1214437492 .
- Виттен, Эдвард (1993). «Фазы n = 2 теорий в двух измерениях». Ядерная физика Б . 403 (1–2): 159–222. arXiv : hep-th / 9301042 . Bibcode : 1993NuPhB.403..159W . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (93) 90033-L . S2CID 16122549 .
- Грин, Пол С .; Хюбш, Тристан (1988). «Связующие пространства модулей трехмерных многообразий Калаби-Яу». Сообщения по математической физике . 119 (3): 431–441. Bibcode : 1988CMaPh.119..431G . DOI : 10.1007 / BF01218081 . S2CID 119452483 .
- Хюбш, Тристан (1997). «О струнных особых когомологиях». Письма по современной физике . A12 (8): 521–533. arXiv : hep-th / 9612075 . Bibcode : 1997MPLA ... 12..521H . DOI : 10.1142 / S0217732397000546 . S2CID 11779832 .
- Хюбш, Тристан (1994). Многообразия Калаби-Яу: бестиарий для физиков . World Scientific. ISBN 978-981-02-1927-7.
- Хюбш, Тристан; Рахман, Абдул (2005). «О геометрии и гомологии некоторых простых стратифицированных многообразий». Журнал геометрии и физики . 53 (1): 31–48. arXiv : math.AG/0210394 . Bibcode : 2005JGP .... 53 ... 31H . DOI : 10.1016 / j.geomphys.2004.04.010 . ISSN 0393-0440 . Руководство по ремонту 2102048 . S2CID 119584805 .
- Макферсон, Роберт; Вилонен, Кари (1986). «Элементарные конструкции извращенных пучков». Inventiones Mathematicae . 84 (2): 403–435. Bibcode : 1986InMat..84..403M . DOI : 10.1007 / BF01388812 . S2CID 120183452 .
- Грин, Брайан (2003). Элегантная Вселенная . Нортон. ISBN 0-393-05858-1.
- Рахман, Абдул (2009). «Подход извращенного пучка к теории когомологий для теории струн». Успехи теоретической и математической физики . 13 (3): 667–693. arXiv : 0704.3298 . DOI : 10.4310 / ATMP.2009.v13.n3.a3 . S2CID 14787272 .
- Банагл, Маркус (2010). Пространства пересечения, усечение пространственных гомологий и теория струн . Конспект лекций по математике. 1997 . Springer. ISBN 978-3-642-12588-1.
- Банагл, Маркус; Будур, Нерон; Максим, Laureniu (2014). «Пространства пересечения, извращенные пучки и теория струн типа IIB» . Успехи теоретической и математической физики . 18 (2): 363–399. arXiv : 1212.2196 . DOI : 10.4310 / ATMP.2014.v18.n2.a3 . Руководство по ремонту 3273317 . S2CID 62773026 .