В топологии , одном из разделов математики , гомологии пересечений являются аналогом сингулярных гомологий, особенно хорошо подходящих для изучения особых пространств , открытых Марком Горески и Робертом Макферсоном осенью 1974 года и разработанных ими в течение следующих нескольких лет.
Когомологии пересечений использовались для доказательства гипотез Каждана – Люстига и соответствия Римана – Гильберта . Он тесно связан с когомологиями L 2 .
Подход Горески – Макферсона
В гомологии из А компактных , ориентированных , связанных , п - мерных многообразия X имеют фундаментальное свойство двойственности Пуанкаре : существует совершенное спаривание
Классически - восходя, например, к Анри Пуанкаре - эту двойственность понимали в терминах теории пересечений . Элемент
представлен j- мерным циклом. Если i -мерный и-мерные циклы находятся в общем положении , то их пересечение есть конечный набор точек. Используя ориентацию X, можно присвоить каждой из этих точек знак; другими словами, пересечение дает 0- мерный цикл. Можно доказать, что класс гомологии этого цикла зависит только от классов гомологии исходного i - и-мерные циклы; кроме того, можно доказать, что это соединение идеально .
Когда у X есть особенности, то есть когда в пространстве есть места, которые не похожи на- эти идеи рушатся. Например, для циклов уже невозможно понять понятие «общее положение». Горески и Макферсон ввели класс «допустимых» циклов, для которых имеет смысл общее положение. Они ввели отношение эквивалентности для допустимых циклов (где только «допустимые границы» эквивалентны нулю) и назвали группу
из I - мерные допустимые циклы по модулю эквивалентности отношения «пересечение гомологии». Кроме того, они показали, что пересечение i - и an-мерный допустимый цикл дает (обычный) нулевой цикл, класс гомологии которого хорошо определен.
Стратификации
Первоначально гомологии пересечения были определены на подходящих пространствах со стратификацией , хотя группы часто оказываются независимыми от выбора стратификации. Есть много разных определений стратифицированных пространств. Удобным для гомологий пересечений является n- мерное топологическое псевдомногообразие . Это ( паракомпактное , хаусдорфово ) пространство X , обладающее фильтрацией
из X с помощью замкнутых подпространств таким образом, что:
- Для каждого i и для каждой точки x из, существует окрестность из й в X , компактные-мерное стратифицированное пространство L и гомеоморфизм, сохраняющий фильтрацию. Здесьэто открытый конус на L .
- .
- плотно в X .
Если X является топологическим Псевдомногообразием, то я - мерный слой из X является пространством.
Примеры:
- Если X - n -мерный симплициальный комплекс такой, что каждый симплекс содержится в n -симплексе, а n - 1 симплекс содержится ровно в двух n -симплексах, то основное пространство X является топологическим псевдомногообразием.
- Если X - любое комплексное квазипроективное многообразие (возможно, с особенностями), то его базовое пространство является топологическим псевдомногообразием со всеми слоями четной размерности.
Извращения
Группы гомологий пересечения зависеть от выбора извращенности , который измеряет, насколько циклы могут отклоняться от трансверсальности. (Происхождение названия «извращенность» объяснил Гореский (2010) .) Извращенность. это функция
из целых чисел к целым числам, таким что
- .
- .
Второе условие используется для демонстрации инвариантности групп гомологий пересечений при изменении стратификации.
Дополняют друг друга Извращенность из это тот, у кого
- .
Группы гомологий пересечения дополнительной размерности и дополнительной извращенности попарно попарно.
Примеры извращений
- Минимальная извращенность имеет . Его дополнение - максимальная извращенность с.
- (Нижняя) средняя извращенность m определяется как, То целая часть из. Его дополнение - извращенность верхнего среднего, со значениями. Если извращенность не указана, то обычно подразумевают извращенность ниже среднего. Если пространство может быть стратифицировано всеми стратами четной размерности (например, любым комплексным многообразием), то группы гомологий пересечений не зависят от значений извращенности на нечетных целых числах, поэтому верхняя и нижняя средняя извращения эквивалентны.
Особые гомологии пересечения
Зафиксируем топологическое псевдомногообразие X размерности n с некоторой стратификацией и извращенность p .
Отображение σ из стандартного i -симплекса в X (особый симплекс) называется допустимым, если
содержится в скелет .
Комплекс является подкомплексом комплекса особых цепей на X, который состоит из всех особых цепей, таких, что и цепь, и ее граница являются линейными комбинациями допустимых особых симплексов. Группы гомологий особых пересечений (с извращенностью p )
- группы гомологий этого комплекса.
Если X имеет триангуляцию, совместимую со стратификацией, то группы гомологий симплициальных пересечений могут быть определены аналогичным образом и естественно изоморфны группам гомологий особых пересечений.
Группы пересечения гомологии не зависят от выбора стратификации X .
Если X - топологическое многообразие, то группы гомологий пересечений (для любой извращенности) такие же, как и обычные группы гомологий.
Маленькие разрешения
комплексного многообразия Y называется малым разрешением, если для любого r > 0 пространство точек Y, в которых слой имеет размерность r, имеет коразмерность больше 2 r . Грубо говоря, это означает, что большинство волокон мелкие. В этом случае морфизм индуцирует изоморфизм гомологий (пересечений) X в гомологии пересечений Y (со средней извращенностью).
Существует множество с двумя разными малыми резольвентами, которые имеют разные кольцевые структуры на своих когомологиях, что показывает, что в общем случае нет естественной кольцевой структуры на (ко) гомологиях пересечений.
Теория связок
Формула Делиня для когомологий пересечений утверждает, что
где - некоторый комплекс конструктивных пучков на X (рассматриваемый как элемент производной категории, поэтому когомологии справа означают гиперкогомологии комплекса). Комплекс задается, начиная с постоянного пучка на открытом множестве и многократно расширяя его на большие открытые наборы а затем усечение в производной категории; точнее это дается формулой Делиня
где является функтором усечения в производной категории, включение в , а также постоянный пучок на . [1]
Заменив постоянную связку на с локальной системой можно использовать формулу Делиня для определения когомологий пересечения с коэффициентами в локальной системе.
Примеры
Учитывая гладкую эллиптическую кривую определяется кубическим однородным многочленом [2] стр. 281-282 , например, аффинный конус
имеет изолированную особенность в нуле, поскольку и все частные производные исчезнуть. Это потому, что он однороден по степени, а производные однородны степени 2. Положив а также карта включения, комплекс пересечений дается как
Это можно вычислить явно, посмотрев на стебли когомологий. В где производное прямое отображение является тождественным отображением на гладкой точке, поэтому единственные возможные когомологии сосредоточены в степени . Для когомологии более интересны, так как
для где закрытие содержит происхождение. Поскольку любой можно уточнить, рассматривая пересечение открытого диска в с участием , мы можем просто вычислить когомологии . Это можно сделать, наблюдая это расслоение над эллиптической кривой , гиперплоское расслоение , а последовательность Ванга дает группы когомологий
следовательно, пучки когомологий на стебле находятся
усечение этого дает нетривиальные пучки когомологий , следовательно, пучок когомологий пересечения равен
Последнее разложение следует из теоремы о разложении .
Свойства комплекса IC ( X )
Комплекс IC p ( X ) обладает следующими свойствами
- В дополнении к некоторому замкнутому множеству коразмерности 2 имеем
- равно 0 при i + m ≠ 0, а при i = - m группы образуют постоянную локальную систему C
- равно 0 для i + m <0
- Если i > 0, торавен нулю, за исключением множества коразмерностей не менее a для наименьшего a с p ( a ) ≥ m - i
- Если i > 0, торавен нулю, за исключением множества коразмерности не менее a для наименьшего a с q ( a ) ≥ ( i )
Как обычно, q - дополнительная извращенность к p . Более того, комплекс однозначно характеризуется этими условиями с точностью до изоморфизма в производной категории. Условия не зависят от выбора стратификации, поэтому это показывает, что когомологии пересечений также не зависят от выбора стратификации.
Двойственность Вердье переводит IC p в IC q, сдвинутую на n = dim ( X ) в производной категории.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Предупреждение: существует несколько соглашений о том, как извращенность входит в конструкцию Делиня: числа иногда пишутся как .
- ^ Теория Ходжа (PDF) . Каттани, Э. (Эдуардо), 1946-, Эль-Зейн, Фуад, Гриффитс, Филип, 1938-, Ле, Дунг Транг. Принстон. 21 июля 2014 г. ISBN 978-0-691-16134-1. OCLC 861677360 . Архивировано из оригинального 15 августа 2020 года.CS1 maint: другие ( ссылка )
- Арман Борел , Когомология пересечений (Прогресс в математике (Биркхаузер, Бостон)) ISBN 0-8176-3274-3
- Марк Горески и Роберт Макферсон, Двойник Пуанкаре для особых пространств. CR Acad. Sci. т. 284 (1977), стр. 1549–1551, Серия А.
- Гореский, Марк (2010), Какова этимология термина «извращенный пучок»?
- Гореский, Марк; Макферсон, Роберт, Теория гомологии пересечений , Топология 19 (1980), вып. 2, 135–162. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (80) 90003-8
- Гореский, Марк; Макферсон, Роберт, Гомология пересечений. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), вып. 1, 77–129. 10.1007 / BF01389130 MR0696691 Это дает теоретико- пучковый подход к когомологиям пересечений.
- Фрэнсис Кирван, Джонатан Вульф . Введение в теорию гомологии пересечения.ISBN 1-58488-184-4
- Клейман, Стивен. Развитие теории гомологии пересечений. Век математики в Америке, Часть II, Hist. Математика. 2, амер. Математика. Soc., 1989, стр. 543–585.
- "Гомология пересечений" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Внешние ссылки
- Какова этимология термина «извращенная связка»? (включает обсуждение этимологии термина «гомология пересечения») - MathOverflow