В математике , А построимо пучок является пучком из абелевых групп над некоторым топологическим пространством X , такими , что X является объединением конечного числа локально замкнутых подмножеств на каждом из которых пучок является локально постоянным пучком. Это обобщение конструктивной топологии в классической алгебраической геометрии.
В этальных когомологиях конструктивные пучки определяются аналогичным образом ( Deligne 1977 , IV.3). Пучок абелевых групп на нётеровой схеме называется конструктивным, если схема имеет конечное покрытие локально замкнутыми подсхемами, на которых пучок является локально постоянным конструктивным (смысл представлен этальным покрытием). О производной категории конструктивных пучков см. Раздел в ℓ-адическом пучке .
Теорема конечности в этальных когомологиях утверждает, что высшие прямые образы конструктивного пучка конструктивны.
Определение этальных конструктивных пучков на схеме X
Здесь мы используем определение конструируемых этальных пучков из книги Фрайтага и Киля, на которую ссылаются ниже. В дальнейшем в этом пункте все пучки на схемах являются этальными связками, если не указано иное.
Связка называется конструктивным, если можно записать как конечное объединение локально замкнутых подсхем так что для каждой подсхемы покрытия, связка конечный локально постоянный пучок. В частности, это означает, что для каждой подсхемы в конечном покрытии возникает этальное покрытие такое, что для всех этальных подсхем в покрытии , связка постоянна и представлена конечным множеством.
Это определение позволяет нам вывести из нётеровой индукции и того факта, что этальный пучок постоянен тогда и только тогда, когда его ограничение из к также постоянна, где это сокращение схемы . Отсюда следует, что представимый этальный пучок сам по себе конструктивен.
Особый интерес для теории конструктивных этальных пучков представляет случай работы с конструктивными этальными пучками абелевых групп. Замечательный результат состоит в том, что конструктивные этальные пучки абелевых групп являются в точности нётеровыми объектами в категории всех крутильных этальных пучков (см. Предложение I.4.8 Фрайтаг-Киля).
Примеры в алгебраической топологии
Большинство примеров конструктивных пучков происходит из пучков когомологий пересечения или из производных прямых локальной системы на семействе топологических пространств, параметризованных базовым пространством.
Получено pushforward на P 1
Один хороший набор примеров конструктивных пучков происходит из производных прямых (с компактной опорой или без нее) локальной системы на . Поскольку любой цикл вокруг гомотопен петле вокруг нам нужно только описать монодромию вокруг а также . Например, мы можем установить операторы монодромии как
где стебли нашей локальной системы изоморфны . Тогда, если мы возьмем производный толчок вперед или же из для получаем конструктивный пучок, в котором стебли в точках вычислить когомологии локальных систем, ограниченных их окрестностью в .
Семейство эллиптических кривых Вейерштрасса
Например, рассмотрим семейство вырождающихся эллиптических кривых
над . Вэто семейство кривых вырождается в узловую кривую. Если обозначить это семейство через тогда
а также
где стебли локальной системы изоморфны . Эта локальная монодромия вокруг этой локальной системы вокругможно вычислить по формуле Пикара – Лефшеца
Рекомендации
Примечания к семинару
- Ганнингем, Сэм; Хьюз, Ричард, Темы в D-модулях (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 сентября 2017 г.
Рекомендации
- Делинь, Пьер , изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5) , Лекционные заметки по математике (на французском языке), 569 , Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, заархивировано из оригинала 15 мая 2009 г. , получено 9 февраля 2010 г.
- Димка, Александру (2004), Пучки в топологии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20665-1, Руководство по ремонту 2050072
- Фрейтаг, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 13 , Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-02541-3 , ISBN 3-540-12175-7, Руководство по ремонту 0926276