Теоремы о замене базы

В математике теорема базы изменений связывают прямое изображение и инерционные из пучков . Точнее, они касаются карты смены базы, задаваемой следующим естественным преобразованием пучков:

${\ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} {\ mathcal {F}}) \ to R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} {\ mathcal { F}})}$

куда

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

является декартовым квадратом топологических пространств и является пучком на X .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по существу произвольных) топологических пространств и собственных отображений f , в алгебраической геометрии для (квази) когерентных пучков и собственно f или g плоской, аналогично в аналитической геометрии , но также и для этальных пучков для f или собственно г гладкой.

Вступление

Феномен простой замены базы возникает в коммутативной алгебре, когда A - коммутативное кольцо, а B и A ' - две A -алгебры. Пусть . В этой ситуации для B -модуля M существует изоморфизм ( A′ - модулей):${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

Здесь нижний индекс указывает на забывчивый функтор, т. Е. Это M , но рассматриваемый как A -модуль. Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

Таким образом, две операции, а именно забывчивые функторы и тензорные произведения, коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма. Обсуждаемые ниже теоремы об замене базы являются утверждениями аналогичного типа.

Определение базовой карты изменения

Функторы изображений для пучков
прямое изображение f ∗
прообраз f ∗
прямое изображение с компактной опорой f !
исключительный прообраз Rf !
${\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}$
${\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}$
Теоремы о замене базы
v т е

Все теоремы об изменении базы, представленные ниже, утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений) следующее отображение изменения базы

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

является изоморфизмом, где

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

непрерывные отображения между топологическими пространствами , которые образуют декартову площадь и представляет собой пучок на X . ^[1] Здесь означает более высокое прямое изображение в соответствии с F , т.е. производный функтор прямым образом (также известный как прямым образом) функтор .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f_{*}}$

Это отображение существует без каких-либо предположений относительно отображений f и g . Она строится следующим образом : так как это левый сопряженный к , существует естественное отображение ( так называемый блок на карте)${\displaystyle g'^{*}}$${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

так что

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

Затем спектральная последовательность Гротендика дает первую карту и последнюю карту (это карты ребер) в:

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

В сочетании с вышеперечисленными доходами

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Использование сопряженности и, наконец, дает желаемую карту.${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g_{*}}$

Упоминалось выше, вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем и, следовательно, и квази-когерентный пучок , ассоциированный с B - модуля M .${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$

Концептуально удобно организовать вышеупомянутые карты изменения базы, которые включают только один более высокий функтор прямого изображения, в одну, которая кодирует все одновременно. Фактически, аналогичные рассуждения, приведенные выше, дают отображение в производной категории пучков на S ':${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

где обозначает (тотальный) производный функтор от .${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle f_{*}}$

Общая топология

Правильная смена базы

Если X - хаусдорфово топологическое пространство , S - локально компактное хаусдорфово пространство и f универсально замкнуто (т. Е. Является замкнутым отображением для любого непрерывного отображения ), то отображение с заменой базы${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

является изоморфизмом. ^[2] Действительно, мы имеем: для ,${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

и так для ${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Чтобы закодировать все отдельные производные функторы более высокого уровня в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что карта изменения базы${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

является квазиизоморфизмом .

Предположение о том, что рассматриваемые пространства являются хаусдорфовыми, были ослаблены Schnürer & Soergel (2016) .

Лурье (2009) распространил вышеупомянутую теорему на когомологии неабелевых пучков , т. Е. Пучки, принимающие значения в симплициальных множествах (в отличие от абелевых групп). ^[3]

Прямое изображение с компактной опорой

Если карта f не замкнута, карта изменения базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

С одной стороны , всегда равна нулю, но если это локальная система на соответствующий представлению о фундаментальной группы (которая изоморфна Z ), то может быть вычислена как инварианты в монодромии действия на ножке (для любого ) , которые не должны исчезать.${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle x\neq 0}$

Чтобы получить результат замены базы, функтор (или производный от него функтор) должен быть заменен прямым образом с компактным носителем . Например, если включение открытого подмножества, такое как в приведенном выше примере, является расширением нулем, то есть его стебли задаются как${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

В общем, существует отображение , которое является квазиизоморфизмом, если f собственно, но не в общем случае. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм ^[4]${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Замена базы для квазикогерентных пучков

Правильная смена базы

Собственные теоремы о замене базы для квазикогерентных пучков применяются в следующей ситуации: есть собственный морфизм между нётеровыми схемами и является когерентным пучком , который является плоской над S (т.е. является плоским над ). В этой ситуации верны следующие утверждения: ^[5]${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• «Теорема полунепрерывности»:
  • Для каждого , функция сверху полунепрерывна .${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • Функция является локально постоянной, где обозначает эйлерову характеристику .${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• « Теорема Грауэрта »: если S приведено и связно, то для каждого следующие эквивалентны${\displaystyle p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$ постоянно.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$ локально бесплатно и естественная карта

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех .${\displaystyle s\in S}$

Кроме того, если эти условия выполнены, то естественное отображение

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех .${\displaystyle s\in S}$

• Если, в течение некоторого р , для всех , то естественное отображение${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех .${\displaystyle s\in S}$

Поскольку стержень пучка тесно связан с когомологиями слоя точки под f , это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с расширением базы». ^[6]${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где в дополнении к перечисленным выше допущениям : существует конечный комплекс из конечно порожденных проективных А -модулей и естественный изоморфизма функторов${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

на категории -алгебр.${\displaystyle A}$

Смена плоского основания

Карта изменения базы

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

является изоморфизмом для квазикогерентного пучка (на ), при условии , что карта является плоской (вместе с рядом технических условий: F должна быть отделенным морфизм конечного типа , схемы вовлечены должны быть нетеровы). ^[7]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

Изменение плоской базы в производной категории

При рассмотрении карты изменения базы возможно далеко идущее расширение плоского базового изменения.

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

в производной категории пучков на S ', как указано выше. Вот (полный) производный функтор обратного преобразования -модулей (поскольку включает тензорное произведение, не является точным, когда g не является плоским и, следовательно, не равен производному функтору ). Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий: ^[8]${\displaystyle Lg^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\displaystyle S}$квазикомпактен, квазикомпактен и квази разделен,${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является объектом в ограниченной производной категории -модулей, а его когомологические пучки квазикогерентны (например, мог бы быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X}$и являются Tor-независимы над , а это означает , что если и удовлетворяют условию , то для всех целых чисел ,${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s'\in S'}$${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$.

• Выполняется одно из следующих условий:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечную плоскую амплитуду относительно , что означает, что он квазиизоморфен в таком комплексе , что является -плоским для всех за пределами некоторого ограниченного интервала ; эквивалентно, существует такой интервал , что для любого комплекса в , есть для всех вне ; или${\displaystyle f}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [m,n]}$${\displaystyle [m,n]}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [m,n]}$
  • ${\displaystyle g}$имеет конечный размер Tor, что означает конечную плоскую амплитуду относительно .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$${\displaystyle g}$

Одним из преимуществ этой формулировки является ослабление гипотезы плоскостности. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется спектральная последовательность Гротендика .

Базовое изменение в производной алгебраической геометрии

Полученная алгебраическая геометрия позволяет отказаться от предположения о плоскостности при условии, что откат заменен гомотопическим откатом . В простейшем случае, когда X , S и аффинны (с обозначениями, как указано выше), гомотопический откат задается производным тензорным произведением${\displaystyle X'}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Затем, предполагая, что используемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) являются квазикомпактными и квазиразделенными, естественное преобразование

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

является квазиизоморфизмом для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, комплексом квазикогерентных пучков. ^[9] Вышеупомянутый результат плоской замены базы на самом деле является частным случаем, поскольку для g flat гомотопический откат (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным откатом (локально задается не производным тензорным произведением), и поскольку откат вдоль плоских отображений g и g ' выводится автоматически (т. е. ). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме об изменении базы, также становятся ненужными.${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

В приведенной выше форме изменение базы было расширено Бен-Цви, Фрэнсисом и Надлером (2010) на ситуацию, когда X , S и S ' являются (возможно, производными) стеками , при условии, что карта f является идеальной картой (которая включает в себя случай, когда F является квазикомпактно, квази-картой разделенных схем, но также включает в себя более общие стеки, такие как стек классифицирующего BG в качестве алгебраической группы в характеристике нуля).

Варианты и приложения

Правильная замена базы также имеет место в контексте комплексных многообразий . ^[10] теорема о формальных функциях является вариантом надлежащей замены базовой, где откат заменяются на завершение операции.

Принцип качелей и теорема кубы , которые являются основополагающими фактами в теории абелевых многообразий , является следствием правильной замены базы. ^[11]

Замена базы также выполняется для D-модулей : если X , S , X ' и S' - гладкие многообразия (но f и g не обязательно должны быть плоскими или собственными и т. Д.), Существует квазиизоморфизм

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

где и обозначают функторы обратного и прямого образа для D -модулей. ^[12]${\displaystyle -^{\dagger }}$${\displaystyle \int }$

Замена базы для эталонных шкивов

Для эталонных торсионных пучков есть два результата изменения базы, называемые соответственно правильной и плавной заменой базы: смена базы выполняется, если она правильная . ^[13] Кроме того , имеет место , если г является гладким , при условии , что е квазикомпактно и при условии , что кручение первично к характеристике из полех вычетов из X . ^[14]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Тесно связан с надлежащей заменой базы является следующим факт (две теоремы обычно доказывается одновременно): пусть X многообразие над сепарабельно замкнутым полем и конструктивен пучок на . Тогда конечны в каждом из следующих случаев:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• X завершен, или
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$не имеет p -кручения, где p - характеристика k .

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространил теорему о собственном изменении базы на этальные пучки без кручения.

Приложения

По аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, карта смены базы для открытого погружения f ,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

обычно не является изоморфизмом. ^[15] Вместо этого расширение с помощью нулевого функтора удовлетворяет изоморфизму${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Этот факт и соответствующая замена базы предлагают определить функтор прямого изображения с компактным носителем для отображения f следующим образом:

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

где это компактификация из F , то есть, разложение в открытое погружения с последующим надлежащей картой. Правильная теорема о замене базы необходима, чтобы показать, что она определена корректно, т. Е. Не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации. Более того, снова по аналогии со случаем пучков на топологическом пространстве, формула замены базы для vs. действительно выполняется для несобственных отображений f .${\displaystyle f=p\circ j}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle Rf_{!}}$

Для структурного отображения схемы над полем k отдельные когомологии , обозначаемые как называются когомологиями с компактным носителем . Это важный вариант обычных этальных когомологий .${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

Подобные идеи используются также для построения аналога функтора в теории A 1 -гомотопий . ^{[16] [17]}${\displaystyle Rf_{!}}$

Смотрите также

• Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии
• Смена базы (значения)
• Лифтинг изменения базы автоморфных форм

дальнейшее чтение

• Esnault, H .; Kerz, M .; Виттенберг, О. (2016), "Изоморфизм ограничения для циклов относительной размерности ноль", Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310 / CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID  54896268

Примечания

использованная литература

• Артин, Майкл ; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF) , Конспект лекций по математике (на французском языке), 305 , Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Vi + 640, doi : 10.1007 / BFb0070714 , ISBN 978-3-540-06118-2
• Бен-Цви, Давид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Математика. Soc. , 23 (4): 909-966, Arxiv : 0805,0157 , DOI : 10,1090 / S0894-0347-10-00669-7 , МР  2669705 , S2CID  2202294
• Бертело, Пьер ; Гротендик, Александр ; Illusie, Luc (1971), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , xii + 700, doi : 10.1007 / BFb0066283 , ISBN 978-3-540-05647-8
• Deninger, Кристофер (1988), "Надлежащая теорема о замене базы для не-торсионных пучков в этальной когомологиях", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 50 (3): 231-235, DOI : 10,1016 / 0022-4049 (88) 90102 -8
• Габбер, " Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем "
• Грауэрт, Ганс (1960), "Ein теорема дер analytischen Garbentheorie унд умереть Modulräume komplexer Strukturen" (PDF) , публикации Mathématiques де l'IHES , 5 : 5-64, DOI : 10.1007 / BF02684746 , S2CID  122593346 , Zbl  0100,08001
• Гротендик, А. (1963), "Элементы геометрии algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II" , Publ. Математика. IHES , заархивировано из оригинала 5 января 2017 г. , извлечено 4 января 2017 г.
• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052
• Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008),D- модули, извращенные пучки и теория представлений , Биркхойзер.
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190
• Лурье, Яков (2009), Высшая теория Топос , Анналы математики исследований, 170 , Princeton University Press , Arxiv : math.CT / 0608040 , DOI : 10,1515 / 9781400830558 , ISBN 978-0-691-14049-0, Руководство по ремонту  2522659
• Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в математике Тата, 5 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-81-85931-86-9, Руководство по ремонту  0282985 , OCLC  138290
• Тоен, Бертран (2012), Собственные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы , arXiv : 1210.2827 , Bibcode : 2012arXiv1210.2827T
• Шнюрер, ОМ; Soergel, W. (2016), «Правильная смена базы для отдельных локально правильных карт», Rend. Семин. Мат. Univ. Падуя , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171 / RSMUP / 135-13 , S2CID  118024164
• Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)

внешние ссылки

• Рекламный проспект Брайана Конрада
• Проблема с полунепрерывностью