Функторы изображений для пучков

Функторы изображений для пучков
прямое изображение f _∗
прообраз f ^∗
прямое изображение с компактной опорой f _!
исключительный прообраз Rf ^!
${\ displaystyle f ^ {} \ leftrightarrows f _ {}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Теоремы о замене базы
v т е

В математике , особенно в теории пучков - области, применяемой в таких областях, как топология , логика и алгебраическая геометрия - существует четыре функтора изображений для пучков, которые связаны друг с другом в различных смыслах.

Учитывая непрерывное отображение F : X → Y из топологических пространств , а категория Sh (-) пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Рассматриваемые функторы:

прямой образ f _∗ : Sh ( X ) → Sh ( Y )
прообраз f ^∗ : Sh ( Y ) → Sh ( X )
прямое изображение с компактной опорой f _! : Ш ( X ) → Ш ( Y )
исключительный прообраз Rf ^! : D (Sh ( Y )) → D (Sh ( X )).

Восклицательный знак часто произносится как « крик » (жаргонная для восклицательного знака), а карты под названием « F визга» или « е нижний визг» и « е верхний вопль» -см также вопль карты .

Исключительный прообраз обычно определяется только на уровне производных категорий . Аналогичные соображения применимы к эталонным пучкам на схемах .

Сочлененность [ править ]

Функторы сопряжены друг с другом, как показано справа, где, как обычно, означает, что F сопряжена слева к G (эквивалентно G сопряжена справа к F ), т. Е. ${\ displaystyle F \ leftrightarrows G}$

Hom ( F ( A ), B ) ≅ Hom ( A , G ( B ))

для любых двух объектов , B в двух категориях будучи сопряженным с помощью F и G .

Например, f ^∗ - левый сопряженный к f _* . По стандартному рассуждению с сопряженностью отношениями, существует естественные единицы и коединица морфизмы и для на Y и на X , соответственно. Однако это почти никогда не бывает изоморфизмами - см. Пример локализации ниже. ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {*} {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} е _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Двойственность Вердье [ править ]

Двойственность Вердье дает еще одну связь между ними: с моральной точки зрения она меняет местами «∗» и «!», То есть в приведенном выше синопсисе меняет местами функторы по диагоналям. Например, прямое изображение двойственно прямому изображению с компактной опорой. Это явление изучается и используется в теории извращенных пучков .

Изменение базы [ править ]

Еще одно полезное свойство функторов изображений - смена базы . Для непрерывных отображений и , индуцирующих морфизмы и , существует канонический изоморфизм . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Z}$ ${\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}: X \ times _ {Z} Y \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}}: X \ times _ {Z} Y \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle R {\ bar {f}} _ {*} R {\ bar {g}} ^ {!} \ cong Rf ^ {!} Rg _ {*}}$

Локализация [ править ]

В частной ситуации замкнутого подпространства i : Z ⊂ X и дополнительного открытого подмножества j : U ⊂ X ситуация упрощается постольку, поскольку при j ^∗ = j ^!и я _!= i _∗ и для любого пучка F на X получаются точные последовательности

0 → j _!j ^∗ F → F → i _∗i ^∗ F → 0

Его двойное чтение Вердье

i _∗Ri ^! F → F → Rj _∗j ^∗ F → i _∗Ri ^! F [1],

выделенный треугольник в производной категории пучков на X .

Отношения сопряженности в этом случае читаются

i^{*}\leftrightarrows i_{*}=i_{!}\leftrightarrows i^{!}

а также

j_{!}\leftrightarrows j^{!}=j^{*}\leftrightarrows j_{*}

.

Ссылки [ править ]

Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190 рассматривает топологическую установку
Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Конспект лекций по математике (на французском языке). 305 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. vi + 640. DOI : 10.1007 / BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2. CS1 maint: discouraged parameter (link) рассматривает случай этальных пучков на схемах. См. Exposé XVIII, раздел 3.
Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 - еще одна ссылка на эталонный футляр.